기초 수학/수와 식의 계산/다항식의 계산

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문자의 사용과 식의 계산 다항식의 계산 일차방정식과 일차함수

다항식의 계산 단원에서는 지수법칙, 다항식의 곱셈 원리와 인수분해를 이해하고 다항식을 계산하는 방법에 대해 알아본다.[1]

지수법칙의 이해[+/-]

지수법칙[+/-]

a>0, b>0이고, m, n이 유리수일 때, 아래와 같은 성질이 있다.[2]

  • {a^0}=1
  • {a^m} \times {a^n} = {a^{m+n}}
  • {a^m} \div {a^n} = {a^{m-n}}
  • {(a^m)^n} = {a^{mn}} = {(a^n)^m}
  • {(ab)^m} = {a^m}{b^m}
  • {(a \div b)^m} = {a^m \div b^m}
  • a^{-m} = {1 \div a^m}

다항식의 계산[+/-]

다항식의 덧셈과 뺄셈[+/-]

다항식의 덧셈과 뺄셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 계산을 한다. 괄호가 있는 식에서는 괄호 안부터 계산한다.[3]

단항식과 다항식의 곱셈[+/-]

단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 식을 전개한 후 계산한다.[4]

  • a(b+c-d)=ab+ac-ad
  • (a+b-c)d=ad+bd-cd

다항식과 단항식의 나눗셈[+/-]

다항식과 단항식의 나눗셈은 분수 꼴로 고친 후 계산하거나 분배법칙을 이용하여 전개한 후 계산한다.[5]

  • (a+b-c) \div d={{a+b-c} \over d}={a \over d}+{b \over d}-{c \over d}
  • (a+b-c) \div d=(a+b-c) \times {1 \over d}=a \times {1 \over d} + b \times {1 \over d} - c \times {1 \over d} = {{a \over d}+{b \over d}-{c \over d}}

다항식의 연산[+/-]

곱셈공식[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
곱셈 공식 문서 참고.

곱셈공식(곱셈公式, Multiplication theorem)은 다항식의 곱셈에서 식을 전개에 대해 정리한 공식이다.[1][6]

  • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
  • (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  • (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
  • (a+b)(a-b)=a^2-b^2
  • (x+a)(x-b)=x^2+(a+b)x=ab
  • (ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd

곱셈공식의 활용[+/-]

제곱의 계산[+/-]

제곱의 계산은 아래와 같이 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2을 이용하여 계산한다.[7]

  • 105^2=(100+5)^2=100^2+2 \times 100 \times 5 + 5^2 = 10000+1000+25=11025
  • 95^2=(100-5)^2=100^2-2 \times 100 \times 5 + 5^2 = 10000-1000+25=9025

두 수의 곱의 계산[+/-]

두 수의 곱의 계산은 아래와 같이 (a+b)(a-b)=a^2-b^2을 이용하여 계산한다.[7]

  • 102 \times 98=(100+2)(100-2)=100^2-2^2=10000-4=9996

곱셈공식의 변형[+/-]

곱셈공식은 아래와 같이 변형할 수 있다.[7]

  • a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
  • a^2+b^2=(a-b)^2+2ab
  • (a+b)^2=(a-b)^2+4ab
  • (a-b)^2=(a+b)^2-4ab
  • a^2+{1 \over a^2}=(a+{1 \over a})^2-2
  • a^2+{1 \over a^2}=(a-{1 \over a})^2+2

인수분해[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
인수 분해 문서 참고.

다항식에서 인수분해(因數分解, Factorization)는 어떤 다항식을 단항식이나 다항식의 곱으로 표현하는 것을 말한다.

인수분해 공식[+/-]

인수분해에 관한 공식은 다음과 같이 있다.[1][8]

  • ma+mb=m(a+b)
  • a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
  • a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
  • a^2-b^2=(a+b)(a-b)
  • x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  • acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

인수분해의 활용[+/-]

연산할 때 아래와 같이 인수분해를 활용하면 편리하다.[9]

  • 98^2-2^2=(98+2)(98-2)=100 \times 96=9600

주석[+/-]

  1. 1.0 1.1 1.2 (2011) 《교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] 수학과 교육과정》. 대한민국 교육과학기술부, 41쪽
  2. 김종호. (2007). “지수법칙”. 《Basic 고교생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  3. 김종호. (2007). “다항식의 덧셈과 뺄셈”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  4. 김종호. (2007). “단항식과 다항식의 곱셈”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  5. 김종호. (2007). “다항식과 단항식의 나눗셈”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  6. 김종호. (2007). “다항식의 연산”. 《Basic 고교생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  7. 7.0 7.1 7.2 장지경. (2007). “곱셈공식의 활용”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  8. 장지경. (2007). “인수분해 공식”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  9. 장지경. (2007). “인수분해의 활용”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.

참고 문헌[+/-]