미적분학/대수

이 챕터에서는 중요한 대수적 개념에 대해서 다시 톺아보는 것을 목적으로 합니다. 미적분학을 하는 과정에서 대수를 이해하는 것은 필수적입니다. 여러분들의 능력에 자신이 있다면, 이 챕터를 대충 훝어봐도 괜찮습니다.

대수라는 용어에 대해

2022년 개정 이전까지의 대한민국 중등교육과정에서는 대수(Algebra)라는 단어를 직접적으로 들어내진 않습니다. 그러나 미국의 교육과정에서는 대수라는 이름을 통해 수학과목을 배웁니다. 대수라는 용어를 정의하고 설명하는 것은 굉장히 지루하고 큰 쓸모는 없을겁니다. 심도있는 주제를 원한다면 대수학 특히 추상대수학을 보는 것이 더 낫겠습니다만, 지금 단계에서는 별로 권장하지는 않습니다.

간단하게 대수라고 하는 것은 여러분들이 배운 수학의 일부입니다. 더 복잡하게는 수의 체계와 미지수를 이용한 계산이라고 할 수 있겠습니다. 여기에는 여러분들이 차근차근 밟아온 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수 그리고 허수를 포함하고(더 많은 체계를 아신다면 이 챕터를 읽으실 이유가 없습니다.), 2+x=5에서 x의 값을 구하라는 일차방정식부터, 두 개 이상의 미지수를 포함한 연립방정식, 함수, (특히)삼각함수, 지수함수가 대수에 포함되는 것입니다.

대수라는 용어는 명확하게 정의하기 힘들기 때문에, 이런 이름이 들어간 수학용어를 찾다가 여러분들이 알고 있는 대수와 관련도 없는 것 같은데 대수라는 것이 붙는 경우도 간혹 찾을 수 있습니다. 그럴 때는 대수라는 용어를 잠시 내려두고 그 용어가 지칭하는 개념이 무엇인지 살펴보는 것이 더 좋습니다. 개념을 이해하고도 대수와의 연관성을 찾지 못했다면 여러분들이 이해하기에는 굉장히 깊은 대수적인 뜻이 있거나, 그 이름을 붙인 수학자가 네이밍 센스가 좋지 않은 것이기 때문이 괘념치 마셨으면 합니다.

산술법칙과 대수

우리가 이 책에서 사용할 수 체계는 실수입니다. 기호로는 칠판볼드(blackboard bold, LaTeX:mathbb)체를 써서 $\mathbb {R}$로 표현합니다. 실수 안에 있는 모든 $a,b,c$에 대해서(이게 어떤 수를 지칭하건, 어떤 변수(미지수)를 지칭하건, 함수로 지칭하건, 수, 변수, 함수로 표현하는 복잡한 무언가여도 상관 없습니다.) 다음과 같은 산술법칙들이 성립합니다.

덧셈법칙

• 교환법칙: $a+b=b+a$
• 결합법칙: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• 덧셈의 항등원의 존재성(0의 존재성): $a+0=a$
• 덧셈의 역원의 존재성: $a+(-a)=0$

덧셈의 교환법칙은 덧셈끼리의 연산에 대해서는 연산에 참여하는 a와 b의 자리가 바뀌어도 여전히 값은 같다는 것을 의미합니다. 덧셈의 결합법칙은 덧셈끼리의 연산에 대해서는 연산에 참여하는 원소끼리는 어떻게 묶건(계산 순서를 어떻게 정하건) 여전히 값은 같다는 것을 의미합니다.

덧셈의 항등원은 덧셈에 참여하는 것 중 아무런 영향을 주지 않는 것을 의미합니다. 덧셈에서는 0이 그 역할을 합니다. 이렇게 당연한 걸 왜 언급하는 것은 어떤 수 체계에 어떤 연산에 대해서는 이런 역할을 하는 것이 없기 때문입니다.

역원에 대해서도 마찬가지입니다. 덧셈의 역원은 덧셈에 참여하는 a에 대해서 결과가 항등원이 되게 하는 것인데, 덧셈에서는 당연하게 a와 크기가 같고, 부호가 반대인 -a가 역원이지만, 뒤에서 보이듯, 곱셈에 대해서는 곱셈의 역원이 존재하지 않는 유일한 예외가 존재합니다. 그리고, 덧셈에 대해서 굳이 +(-a)라는 표현을 쓰는 건 별로 좋아보이지 않으므로 뺄셈을 정의하여 넣어봅시다.

정의: 뺄셈

$\mathbb {R}$ 안에 있는 $a,b$에 대해서

$a+(-b)=a-b$이다.

뺄셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않습니다. 우리 입장에서는 편하게 쓰지만, 이런 부분이 수학자들에겐 불필요하기 때문에 수 체계를 구성할 때 이런 서술을 빼놓습니다.

곱셈법칙

• 교환법칙: $a\cdot b=b\cdot a$
• 결합법칙: $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
• 곱셈의 항등원의 존재성: $a\cdot 1=a$
• 곱셈의 역원(항상 존재하는 것은 아님에 주의!): $a\neq 0,a\cdot {\frac {1}{a}}=1$

곱셈을 표현할 때 가위표($\times$)로 표현하기도 하지만, 가위표보다는 가운뎃점($\cdot$)가 더 자주 쓰이고, 더 많은 경우 생략해버립니다.(생략하기 곤란할 때에 마지못해 찍는 것이 점입니다.)

덧셈에서의 항등원은 0인 것처럼 곱셈에서의 항등원은 1입니다. 하지만 곱셈에서는 어떻게 표현하든 0인 것에 대해서는 역원이 존재하지 않습니다.(즉, 덧셈의 항등원에 대해서는 곱셈의 역원이 존재하지 않습니다.) 왜냐고 물었을 때 공리라고 대답하는 것은 안 좋은 대답이고(모티베이션을 생각하세요.) 우리가 곱셈을 쓰는 이유는 똑같은 수를 계속 덧셈으로 쓰는 것이 불편해서, 이것을 더 간편하게 표현하기 위해서이기 때문입니다. 그런데 똑같은 수를 0번 더하는 것이나, 0을 몇 번을 더하는 것이나 그 결과는 0이 나오기 때문에, 0에 대해서는 곱셈으로 곱셈의 항등원인 1이 나오는 어떠한 경우도 생각할 수가 없습니다.

추가적으로 실수는 덧셈과 곱셈 두 가지 연산으로 구성된 체계이기 때문에(앞서 말했듯 수학자들은 뺄셈을 넣는 걸 불필요하다고 여깁니다. 이는 나눗셈도 마찬가지입니다.) 두 연산이 결합한 법칙도 존재합니다.

• 분배법칙: $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

덧셈에는 없는 법칙이기 때문에 $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)$는 성립하지 않습니다.

뺄셈과 마찬가지로 나눗셈을 정의할 수 있지만 정수가 아닌 실수에서 다루는 경우 더 흥미를 가지지 않아서, 곱셈의 역연산으로만 간단하게 언급할 수 있습니다. 그리고, 위에서 0은 역원이 없으므로, 나눗셈은 0에서 정의하지 않습니다.

예시

자, 이제 위의 법칙들이 어떻게 적용되는지 봅시다.

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	$=\left[(x+2)\cdot (x+3)\right]\cdot \left({\frac {1}{x+3}}\right)$ (나누기의 정의)
	$=(x+2)\cdot \left[(x+3)\cdot \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]$ (곱셈의 결합법칙)
	$=((x+2)\cdot (1)),\qquad x\neq -3$ (곱셈의 역원)
	$=x+2,\qquad x\neq -3$ (곱셈의 항등원)

물론, 위의 방식은 단순하게 $x+3$을 분자와 분모를 지우는 것보다도 훨씬 깁니다. 하지만, 여러분이 어떤 연산을 할 때 어떤 규칙들이 어떻게 적용되는지를 아는 것은 중요합니다. 때론 다음과 같은 실수를 할 수도 있지요. 실수:

${\frac {2\cdot (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\cdot {\frac {x+2}{2}}=1\cdot {\frac {x+2}{2}}={\frac {x+2}{2}}$

이것을 정확하게 간략화 한 것은

${\frac {2\cdot (x+2)}{2}}=\left(2\cdot {\frac {1}{2}}\right)\cdot (x+2)=1\cdot (x+2)=x+2$

과 같은 절차를 걸치게 될 것입니다. 위에서는 나눗셈이 곱셈에 대해 분배법칙이 성립한다고 실수를 했지만, 아래에서는 분모와 분자를 모두 2를 지운 것으로 볼 수 있습니다.

정렬순서

실수에서는 추가적으로 순서를 생각할 수 있습니다. 이것은 다시 말해서 아무 숫자 a와 b를 뽑았을 때 무엇이 더 크거나 작은지, 아니면 똑같은지 비교할 수 있습니다. 이건 실수가 명확한 기준이 있기 때문인데, 쉽게 생각해서, 실수를 하나의 (무한한)화살표 위에 가지런히 순서대로 놓을 수 있기 때문입니다. 두 개의 화살표에서 아무 위치나 불러보면 두 개 중 무엇이 더 큰지 작은지 아니면 같은지를 비교할 수 있기 때문에 실수는 순서를 가집니다.

덕분에 크기를 비교하는 기호 $\geq$에 대해 약간 바보같아 보이는 법칙을 말할 수 있습니다.

• 반대칭성: $a\geq b$이고 $a\leq b$이면 $a=b$이다.
• 추이성: $a\geq b$이고, $b\geq c$이면 $a\geq c$이다.
• 완전성: 모든 $a,b$에 대해서 $a\geq b$이거나 $a\leq b$이다.

당연하다고 생각할 수 있지만 수학과 학생들에게는 직관에서 벗어나 논리로 들어가는 길목에 있는 것이기 때문에 만만하게 볼 수는 없습니다. 물론 우리는 그런 것보단 $\geq$라는 기호를 마음대로 쓸 수 있는 사실이 더 중요합니다. 더 나아가 $<$와 $>$, $\leq$도 도입합시다. 초과나 미만을 나타내는 $<$, $>$ 기호는 비록 이상이나 이하를 나타내는 $\leq$와 $\geq$에서 성립하는 법칙과는 다른 법칙이 적용되지만, 비교하는 두 개가 같은 경우를 포함하지 않는 특수한 $\leq$, $\geq$만으로 생각합시다.

구간 표기

우리는 특정구간을 나타내기 위해서 위와는 또 다른 표기법을 사용할 수 있습니다. 진술 중에서 "$2<x<4$인 모든 $x$에 대하여"라는 말이나 "$2\leq x\leq 4$인 모든 $x$에 대하여"라는 말보다는 $(2,4)$나 $[2,4]$라고 표현하는 것이 미지수 $x$를 포함한 여러가지 진술들을 쓸 필요가 없기 때문에 더 잘 쓰일 수 있을 겁니다. 위의 예시에서 $x$는 (대략적으로)2와 4 사이를 의미하고, 이 두 점(혹은 수)를 끝점(Endpoint)라고 부릅니다. 구간(interval)은 다음과 같이 씁니다.

끝점 조건	부등호 표현	구간 표현
2와 4를 포함함.	$2\leq x\leq 4$인 모든 $x$에 대해서	$[2,4]$
2와 4를 포함하지 않음.	$2<x<4$인 모든 $x$에 대해서	$(2,4)$
2는 포함하지만, 4는 포함하지 않음.	$2\leq x<4$인 모든 $x$에 대해서	$[2,4)$
4는 포함하지만, 2는 포함하지 않음.	$2<x\leq 4$인 모든 $x$에 대해서	$(2,4]$

더 일반적으로 $a,b\in \mathbb {R}$($\in$은 왼쪽에 있는 원소가 오른쪽에 위치한 집합의 원소임을 나타내는 집합기호입니다. 많은 수학자들은 실수 $\mathbb {R}$을 집합으로 봅니다. 간단하게 이 진술은 $a$와 $b$가 실수임을 나타냅니다.)일 때 다음과 같은 표로 나타낼 수 있습니다.

의미	구간 표기	집합 표현
$a$보다 크거나 같고 $b$보다 작거나 같은 모든 값에 대해서	$[a,b]$	$\{x:a\leq x\leq b\}$
$a$보다 크고 $b$보다 작은 모든 값에 대해서	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
$a$보다 크거나 같고 $b$보다 작은 모든 값에 대해서	$[a,b)$	$\{x:a\leq x<b\}$
$a$보다 크고 $b$보다 작거나 같은 모든 값에 대해서	$(a,b]$	$\{x:a<x\leq b\}$
$a$보다 크거나 같은 모든 값에 대해서	$[a,\infty )$	$\{x:x\geq a\}$
$a$보다 큰 모든 값에 대해서	$(a,\infty )$	$\{x:x>a\}$
$a$보다 작거나 같은 모든 값에 대해서	$(-\infty ,a]$	$\{x:x\leq a\}$
$a$보다 작은 모든 값에 대해서	$(-\infty ,a)$	$\{x:x<a\}$
모든 값에 대해서	$(-\infty ,\infty )$	$\{x:x\in \mathbb {R} \}$

여기서 $-\infty$와 $\infty$는 반드시 (나 )(괄호)로 묶어야 하며, [나 ](대괄호)로 묶어서는 안됩니다. $\infty$는 숫자가 아니고, 따라서 우리의 집합(실수) 안에 있을 수가 없기 때문입니다. $\infty$는 정말로 단순히 간단하게 쓰기 위한 기호일 뿐입니다. 위의 경우처럼 말입니다.

구간 $(a,b)$는 열린 구간(open interval), 구간 $[a,b]$는 닫힌 구간(close interval)이라고 말합니다.(이것에 대한 진지한 논의는 해석학에서 다룹니다.)

구간들은 집합이고 우리는 집합 표현을 통해 값과 구간 사이의 관계를 보일 수 있습니다. 우리가 어떤 특정한 값이 구간 안에 포함되어 있다고 말하고 싶을 때, 우리는 기호 $\in$을 사용할 수 있다는 것을 의미합니다. 예를 들어 $2\in [1,3]$과 같이 쓸 수 있습니다. 비슷하게 $\notin$을 사용하여 $0\notin (0,1)$로 표현할 수 있습니다.

지수와 제곱근

우리가 곱셈을 덧셈을 몇 번 했는지로 정의하는 것처럼, 곱셈을 몇 번 했는지를 또 어떠한 용어를 사용하여 정의할 수 있습니다. 이것을 우리가 지수라고 하고, $a^{n}$을 a의 n제곱 혹은 a의 n승(乘)이라는 표현으로 쓰입니다. 이 지수는

$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdots a$(n번 곱함)

로 표현됩니다. 특별하게 $a\neq 0$라면 $a^{0}=1$이라고 정합시다.(우리는 $0^{0}$ 같은 문제에 손 대고 싶진 않습니다.)

또, $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$으로 정합시다.

우리가 곱셈을 덧셈을 몇 번을 했는가로 정했지만, 정작 곱셈에 사용되는 연산을 실수로 연장을 했듯이, 지수에 대해서도 마찬가지로 생각할 수 있습니다.(이런 유연한 사고는 복소수에 대해서도, 사실 좀 더 이상한 세계의 물건에 대해서도 둘 수 있습니다. 물론 그 결과는 그 이상한 세계의 것... 아니면 또 다른 세상의 것이겠지만요.) 즉, 유리수(분수) $m/n$(m과 n은 정수, 특히 n은 0이 아닌 정수입니다.)에 대해서 $a^{\frac {m}{n}}$와 같이 쓸 수 있는데, 이것은 우리로 하여금 또다른 생각을 하게 만듭니다.

예를 들어봅시다. a의 $1/4$ 제곱이 무엇을 의미하는지 생각해봅시다. 우리가 지수를 정의할 때 자기 자신을 $n$번 곱한 것이 지수라고 했습니다. 그럼 $a^{1/4}$는 무엇을 의미하나요? 반대로 생각해봅시다. $a$를 만들기 위해서 $a^{1/4}$를 몇 번 곱해야 하나요? 우리가 지수를 정의했던 것을 기반으로 생각하면 4번 곱해야 할 것입니다.

이렇게 곱셈과 나눗셈처럼 지수의 일종의 역연산(사실 이게 옳은 용어라고 보긴 힘들겁니다.)을 생각할 수 있습니다. 이것을 우리는 제곱근(root)라고 부릅니다. 지수의 표기와 마찬가지로 자기 자신을 n번 곱해야 a가 나오는 $a^{1/n}$에 대해서 a의 n제곱근이라고 부릅니다. 제곱근은

$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

로 표현합니다. 역사적인 표기를 따라 ${\sqrt {\;\;}}={\sqrt[{2}]{\;\;}}$이며, ${\sqrt {\;\;}}$는 근을 나타내는 기호라는 뜻의 근호(radical sign)라고 합니다.

지수(제곱근)에 대해서 다음과 같은 규칙이 적용됩니다.

규칙	예시
$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$	$3^{6}\cdot 3^{9}=3^{15}$
$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$	$(x^{4})^{5}=x^{20}$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(3x)^{5}=3^{5}x^{5}$

위 규칙을 응용하여 ${\sqrt {8}}=2^{\frac {3}{2}}=2\cdot 2^{\frac {1}{2}}=2{\sqrt {2}}$와 같이 표현할 수 있습니다.

지수와 로그

지진은 분석하는데 여러가지 규모를 사용하지만, 결국엔 지진계의 침이 얼마나 (격렬하게)움직이는지에 따라 결정이 됩니다. 잔잔할 때와 아주 격렬할 때는 하늘과 땅 차이입니다. 본 사진은 체코 과학 아카데미에서 Petr Brož 가 촬영한 역사적 지진계입니다.

위에서 제곱근을 지수의 역연산 같은 것이라고 말했습니다만, 어떤 것을 기준으로 두느냐에 따라 역연산은 달라질 수 있습니다. 로그도 어떤 관점에서 지수의 역연산이라고 볼 수 있습니다. 로그는 어마어마하게 큰 수를 간단하게 표현하는 표현법입니다.

간단하게 상용로그를 생각해봅시다. $\log _{10}$이나 $\log$이라는 표기법이 존재하지만, 지금은 이런 표기는 잊어버리고 생각해봅시다. 우리가 지진의 세기를 표현할 때, 규모라는 단위를 정의합니다. 규모는 다양하게 있지만, 잘 알려진 리히터 규모의 경우 지진계에서 측정되는 진폭의 크기에 따르는데, 규모가 1이 오를 때마다 진폭의 크기는 10배씩 늘어납니다. 에너지는 진폭에 1.5 제곱에 비례하기 때문에 에너지는 약 31.16배 증가한다고 합니다. 규모가 1이나 2일 때는 에너지의 크기로 지진이 어느 정도 세기인지 알 수 있겠으나(규모 2 간의 차이는 약 1000배) 규모가 9면 에너지 크기로 적는 것이 굉장히 불편해집니다.(약 27조배, 14자리)

큰 수를 쉽게 적기 위해 쓰는 로그는 다음과 같이 표현합니다. 먼저 방정식

$y=b^{x}$

을 생각해봅시다. 여기서 $b$는 "밑"이라고 부르고, $x$를 지수라고 부릅니다. 우리는 이 식에서 $x$를 풀어봅시다. 우리는 양쪽에 어떠한 연산을 적용해서 $x$를 얻고 싶은 욕망이 있을 겁니다. 우리가 원하는 이 연산은 로가리듬(logarithm) 혹은 짧게 로그(log)라고 부릅니다. 그리고 정의는 다음과 같이 따릅니다.

정의: 로그의 형식적인 정의

정확하게 $y=b^{x}$이고, $x>0$, $b>0$, $b\neq 1$이면 $\log _{b}y=x$이다.

로그는 각각의 밑에 의해서 정해집니다. 위 방정식이 말하는 것은 $x$가 $b$의 지수일 때, 그 결과가 $y$라는 것입니다.

대충 감을 잡기 위해서 $\log _{10}100,000$를 계산해봅시다. $100,000=10^{5}$이므로, $x$는 5가 됩니다. 즉, $\log _{10}100,000=5$입니다.

특별히 사용하는 로그의 밑

지수에서 사용한 밑이라는 표현은 로그에서도 여전히 사용할 수 있습니다. 다시 말해서 $\log _{5}625$에서 로그의 밑은 5입니다. 그런데, 어떤 경우 굉장히 자주 사용되서 밑을 따로 적지 않아도 통용되는 경우가 있습니다. 한 가지 경우가, 위에서 언급한 상용로그로, 이 때의 로그의 밑은 10입니다. 즉, 원래 $\log _{10}$으로 사용되어야 하는 로그이지만, 굉장히 자주 사용되고, 솔직히 자리수 계산하기 편하기 때문에, 간단하게 $\log$로 표기하기도 합니다.

이것 말고도 우리의 미적분학 공부에서 자주 보이게 될 지수의 밑으로 $e\approx 2.718282$가 있습니다. 자연상수...가 아니라 자연로그의 밑이라고 부르는 이 상수(물론 다른 이름이 있을 수는 있습니다. 오일러의 수라던가, 네이피어의 수라던가...)의 이름은 특이하게 특수한 로그의 이름에 따라 지어졌습니다. 이를 ($e$가 자연로그의 밑이라는 것에서 쉽게 유추할 수 있듯)자연로그라고 부르는데, 간단하게 $\ln$으로 표기합니다. 이 표기는 컴퓨터 과학에서는 2를 밑으로 하는 로그를 표기하는데 쓰이기도 합니다.

로그의 특성

로그 덧셈과 뺄셈

로그 연산에서 $\log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}(x\cdot y)$가 성립합니다. 이것이 사실인지 확인하기 위해,

$\log _{b}x=r,\log _{b}y=s$

라고 가정합시다. 이 가정은

$x=b^{r},y=b^{s}$

라는 사실을 내포하고 있으므로, 지수의 연산규칙에 따라

$x\cdot y=b^{r}\cdot b^{s}=b^{(r+s)}$

가 되고, 로그의 정의에 따라

$\log _{B}(x\cdot y)=r+s=\log _{b}x+\log _{b}y$

가 됩니다. 비슷하게, $\log _{b}x-\log _{b}y=\log _{b}({\frac {x}{y}})$가 성립합니다. 한 번 해보세요.

역사적으로, 로그는 계산을 간단하게 하는 쪽에서 사용되었습니다. 지루한 곱셈 과정 대신 로그표를 사용했습니다.(고대 바빌로니아에서는 지루한 덧셈 과정 대신 곱셈표를 사용했습니다. 역사는 반복되나 봅니다.)

로그 지수와 제곱근

또다른 유용한 로그 연산 특성은 $\log _{b}a^{c}=c\cdot \log _{b}a$입니다. 이것이 사실인지 확인하기 위해, $\log _{b}a^{c}$라는 표현을 고려해봅시다. 이제 우리는

$\log _{b}a^{c}=x$

라고 가정합시다. 로그의 정의를 따라서

$a^{c}=b^{x}$

입니다. 이제 양쪽에 ${\frac {1}{c}}$ 제곱을 시켜서 우리는

$a=b^{\frac {x}{c}}$

를 얻을 수 있습니다. 이제 다시 로그로 돌려봅시다. 양쪽에 $log_{b}$를 다시 붙이면

$\log _{b}a={\frac {x}{c}}$

입니다. 이제 간단하게

$c\log _{b}a=x$

라는 사실을 알 수 있습니다. 마찬가지로 $\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$라는 사실도 확인할 수 있습니다.

밑 바꿔치기

많은 공학계산기에는 $\log _{10}$나 $\ln$ 함수만 내장되어 있고, 다른 밑을 가지는 로그에 대해서는 내장되어 있지 않습니다. 그럼 b가 불행히도 10이나 e가 아닌 경우, 우리가 계산할 수 있는 로그의 밑은 $\beta$ 밖에 없는 경우에는 $\log _{b}a$는 어떻게 계산해야 할까요? 먼저,

$\log _{b}a=x$

라고 가정합시다. 로그의 정의에 따라 이는

$a=b^{x}$

입니다. 이제 양 쪽에 $\log _{\beta }$를 연산해 봅시다. 그러면 우리는,

$\log _{\beta }a=\log _{\beta }b^{x}=x\cdot \log _{\beta }b$

를 얻을 수 있고, $x$에 대해 예쁘게 정리하면,

$x={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$

입니다. 예제로, 우리가 밑이 10인 로그만 계산할 수 있는 상황에서 $\log _{2}45$가 주어졌다고 생각합시다. 얼마가 나오나요?

로그의 성질 요약

요약표입니다.

	공식	예시
곱셈	$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{2}32=\log _{2}(4\cdot 8)=\log _{2}4+\log _{2}8=2+3=5$
나눗셈	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
지수	$\log _{b}\left(a^{c}\right)=c\log _{b}a$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
제곱근	$\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$
밑 바꾸기	$\log _{b}a={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$	$\log _{2}45={\frac {\log 45}{\log 2}}={\frac {1.653212514}{0.301029996}}\approx 5.491853096$

인수분해와 근

어떤 식 $4a+b+c=0$에 대해서 덧셈으로 나뉘는 각각의 것들, 즉, $4a$, $b$, $c$, $0$을 우리는 항(項)이라고 부릅니다. 이것이 등호의 왼쪽에 있으면 좌항(左項, left term), 오른쪽에 있으면 우항(右項, right term)이라고 부릅니다. 그리고 항을 나누는 기준이 되는 것은 항 안에 있는 미지수에 달려있는데, 미지수가 같으면 같은 항으로 묶입니다. 예시를 들어봅시다.

$5a+4ab+3ba+2+a^{2}+a$

위 식에서 나오는 미지수는 $a$,$ab$,$ba$,$a^{2}$입니다. 여기서 $5a$와 $a$는 같은 미지수를 공유하고 있으므로 하나로 묶을 수 있습니다. 그럼

$(5+1)x+4xy+3yx+2+x^{2}$

이겠네요. 그런데, 곱셈의 결합법칙에 따라 $ab=ba$입니다. 우리의 감각적인 편안함에 따라 $3ba=3ab$라고 하면 $4ab$와 $3ab$는 또 묶일 수 있습니다. 따라서 위 식은

$(5+1)x+(4+3)xy+2+x^{2}$

으로 쓸 수 있습니다. 그리고, 우리의 친절함을 내보이는 표기법에서는 일종의 순서를 주게 됩니다. 이건 두 가지 조건을 두게 되는데

• 높은 차항은 먼저 둘 것
• 같은 차항에서는 사전식으로 정리할 것

이라는 두 가지 조건입니다. 여기서 차(次)라고 하는 것은 한 항에 있는 미지수의 개수입니다. 더 특별하게 한가지 미지수가 n번 곱해져 있는 것(exponent)를 지칭하는 경우가 많습니다. 미지수의 개수를 차수라고 하고, 지수의 그것마냥 n번 곱해지면 n차항이라고 부릅니다. 여기서는 숫자는 잘 알고 있는 수이므로, 미지수가 아닙니다. 다시 말해서 아무 숫자 $8888577$이 $x$에 곱해져 $8888577x$라는 항을 만들어도 이것은 1차항이라는 것입니다.

사전식으로 정리하는 것은 간단하게 말해서, 보기 편하게 두자는 것입니다. 우리가 (요새는 찾아보기 힘들지만)종이 사전을 찾아볼 때, 사전은 가나다 순서대로 되어 있습니다. 단어 "표범"과 "표현"가 있다면, 'ㅎ'이 'ㅂ'보다 뒤에 있으므로, "표범"이 앞에 있고, "표현"이 뒤에 있는 것처럼, 순서 상 앞에 있는 미지수를 앞에다 두는 규칙 혹은 규범입니다. 정말로 말 그대로 보기 편하게 두자는 규칙입니다. 즉, 위의 식은 상기의 규칙에 따라

$x^{2}+(4+3)xy+(5+1)x+2=x^{2}+7xy+6x+2$

로 쓸 수 있습니다. 우리는 단일의 항이 아닌 여러가지 항이 섞여있는 식을 다항식으로 부르겠습니다. 또, 여러가지 항들이 등호(=)을 통해서 다른 식과의 관계가 주어진 경우 방정식이라고 부르겠습니다. 다시 말해서 $4a+2b+3$은 다항식이지만, $4a+2b+3=1$은 방정식입니다.

이제 조금 더 나아갑시다. 주어진 식 $x^{2}+3x+2$에 대해서, 누군가는 "이 식을 0으로 만들게 하는 $x$는 뭘까?"라고 물을 수 있습니다. 누가 그런 질문을 하냐고 생각할 수 있지만, 이런 생각으로부터 대수(Algebra)가 발전해왔습니다. Algebra의 어원에 대해서 한 번 찾아보세요! 우리는 이 식에 대해서 다음과 같이 묶을 수 있습니다.

$x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)$

$x=-1,-2$이면, 하나의 묶음이 0이 되는 것은 자명합니다. 그건 다시 말해서 전체도 반드시 0이 된다는 것이겠죠. 그럼, 우리는 인수분해(묶음)을 통해서 식이 0이 되도록 하는 $x$ 값을 얻을 수 있을겁니다. 이것을 "근"(根, root)이라고 부릅니다. 일반적으로 2차 다항식(quadratic polynomial, 이 표현이 상당히 재미있는데, quad-는 2가 아니라 4를 나타내는 라틴어 접두사입니다.) $px^{2}+qx+r$은 다음과 같이 인수분해 할 수 있습니다.

$px^{2}+qx+r=(ax+c)(bx+d)$

그리고 우리는 이 방정식으로부터 $x=-{\frac {a}{c}}$이고, $x=-{\frac {b}{d}}$라는 원래 방정식의 근들을 얻을 수 있습니다.

특히 눈 여겨 볼만한 식은 두 제곰의 차, $a^{2}-b^{2}$입니다. 이 특별한 경우는 우리는 언제나

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

라는 유용한 결과를 얻을 수 있습니다. 예시를 하나 들어볼까요? $4x^{2}-9$를 생각해봅시다. 우리의 첫 번째 직관은 각각의 $4x^{2}$와 $9$가 $2x$와 $3$의 제곱인 것이라는 것이겠네요. 방금 전 규칙을 인용하면

$4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x+3)(2x-3)$

을 얻을 수 있습니다.

2차 방정식의 해

하나의 미지수에 대한 다차방정식의 해는 4차까지 잘 알려져 있습니다. 잘 알려져 있는 몇가지를 살펴봅시다.

베다수학에서(AC 방법)

한 때 베다수학이 유행한 적이 있습니다. 인도문명의 베다 경전에 실려있다고 하는 수학법을 말하는데, 일상생활에서 사용하는 계산법들입니다. 그 중 하나는 두 자리 수 곱셈인데, 예를 들어 봅시다. $14\times 17$은 어떻게 계산할까요? 계산법은 다른 계산법도 있겠지만, 문살 계산법을 살펴 봅시다. 직접해보시면 재밌습니다. 우리의 예시에서는 13개의 작대기가 필요합니다.

문살계산법은 중국에서도 사용했던 계산법으로, 작대기를 이용해서 계산하는 방법입니다. 방법은 다음과 같습니다.

• 자릿수마다 작대기를 나눠서 배치합니다. 14의 경우, 작대기 하나를 십의 자리에, 작대기 네 개를 일의 자리에 놓습니다.
• 곱하고자 하는 작대기를 이미 놓은 작대기 위에 상기의 방법과 똑같이 비스듬하게 배치합니다. 마름모 꼴이 되어야합니다. 즉, 17을 1과 7로 나눠서 올려놓습니다.
• 나눈 자리에 따라 십의 자리와 십의 자리에 겹치는 점들, 십의 자리와 일의 자리가 겹치는 점들, 일의 자리와 일의 자리가 겹치는 점들을 셉니다. 십의 자리와 십의 자리에 겹치는 점은 1개, 14의 십의 자리와 17의 일의 자리가 겹치는 점은 7개, 14의 일의 자리와 17의 십의 자리가 겹치는 점은 4개, 14의 일의 자리와 17의 일의 자리가 겹치는 점은 28개가 나와야 합니다.
• 십의 자리와 십의 자리가 겹치는 점의 개수에 100을, 십의 자리와 일의 자리가 겹치는 점의 개수에 10을, 일의 자리와 일의 자리가 겹치는 점들의 개수는 1을 곱합니다.
• 모든 값을 더합니다.

위의 방법을 통해서 얻는 값은 $1\times 100+(4+7)\times 10+28=100+110+28=238$가 됩니다. 실제로도 맞습니다. 이 계산법은 놀랍게도 인수분해와 이차다항식의 관계를 꿰뚫는 계산법입니다.

다시 한 번 봅시다. 위 계산법에서 $14=1\times 10^{1}+4$, $17=2\times 10^{1}+7$입니다. 10은 비록 상수이지만, 살짝 눈을 감고 미지수 $x$로 바꿔봅시다. 그러면 $14\times 17$은 $(x+4)(x+7)$으로 바뀝니다. 이 인수분해를 다시 곱해보면 $x^{2}+4x+7x+4\cdot 7=x^{2}+(4+7)x+(4\times 7)=x^{2}+11x+28$가 됩니다. 미지수 $x$를 우리 모두가 아는 그 숫자 10으로 바꾸면 계산법과 같이 나옵니다. 그리고 우리는 이것에서 거슬러 올라 한 가지 결론을 얻을 수 있습니다. 이 결론을, 정확히는 이차항등식을 구성하는 방법을 AC method라고 부릅니다.

$x^{2}+qx+r$

에 대해서 $a$와 $b$가 다음 조건을 만족하면

$a\cdot b=r$ 그리고 $a+b=q$

다음과 같이 인수분해가 가능합니다.

$x^{2}+qx+r=(x+a)(x+b)$

좀 더 일반적으로 프랑수아 비에트가 만든 (사실은 더 일반적이지만)비에트의 공식에따라 다음과 같이 말할 수 있습니다.

2차 다항식에서의 비에트의 공식(Vieta's formulae)

주어진 어떤 2차 다항식 $ax^{2}+bx+c=0$(여기서 $a\neq 0$)에 대해, 다항식의 근 $x_{1}$, $x_{2}$는

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$, $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$이다.

비에트 공식은 좀 더 높은 차항의 다항식에 대해서도 성립하기 때문에, 3차 방정식에서도 살짝 다뤄봅시다.

근의 공식

이차방정식에 대한 근의 공식은 공식으로 만들어지기 전에도 희미한 형태로도 잘 알려져 있었습니다. 이집트나 바빌로니아, 중국, 그리스 등 여러 문명에서 알려져 있었던 것입니다. 그러나 헬레니즘 문명에서는 자연적인 의미에서 수를 해석했기 때문에 음수를 취급하지 않았고, 일반화된 근의 공식보다는 특수한 경우에 대한 근의 공식이 통용되었습니다. 물론 우리도 (실수 안에서 논하고 있기 때문에)이들의 현명하지 못함과 비슷한 시선에서 근의 공식을 다룰 것입니다.

근의 공식은 굉장히 명확합니다. 그리고 외우면 그만입니다. 근의 공식은 다음과 같습니다.

2차 다항식에서의 근의 공식

주어진 어떤 2차 다항식 $ax^{2}+bx+c=0$(여기서 $a\neq 0$)에 대해, 이차방정식의 모든 해는 다음을 따른다.

$x={\frac {-b\pm {\sqrt[{}]{b^{2}-4ac}}}{2a}}$

여기서 $b^{2}-4ac$의 값에 따라 방정식의 (실수)해의 개수가 달라집니다.

값	해의 개수
$b^{2}-4ac>0$	두 개의 해가 존재합니다.
$b^{2}-4ac=0$	오로지 한 개의 해만 존재합니다.
$b^{2}-4ac<0$	해가 존재하지 않습니다.

3차 방정식

3차 다항식(cubic polynomial, 재미있게도 cubic도 어원적으로 3과 관련이 없습니다.)은 특수한 경우의 해만이 다뤄지다가, 카르다노가 좀 더 일반적인 해를 얻었습니다.(이에 대해서 카르다노가 타르탈리아의 업적을 훔쳤다는 소리도 있습니다.) 하지만 2차 방정식과 달리 3차, 4차로 넘어갈수록(4차에 관한 방정식도 카르다노의 저서 《Arc Magna》에 적혀있습니다. 이것은 카르다노의 업적이 아닌 페라리의 업적이라고 합니다.) 복잡해지기 때문에 일반적으로 다루지 않습니다.

3차 방정식의 근의 공식을 적는 것은 큰 의미가 없을 것 같습니다. 적어도 미적분학에서는 쓰이기 힘들 것 같습니다. 대신 간단한 인수분해와 3차 다항식에서의 비에트의 공식을 살펴봅시다.

3차 다항식의 특수한 경우, 즉 $x^{3}\pm 3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$과 $x^{3}\pm y^{3}$의 경우 다음과 같이 깔끔한 인수분해가 가능합니다.

$x^{3}\pm 3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}=(x\pm y)^{3}$

$x^{3}\pm y^{3}=(x\pm y)(x^{2}\mp xy+y^{2})$

또, 근 $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$을 가지고 있는 3차방정식 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$에 대해서 다음과 같은 관계가 성립합니다.(비에트의 공식)

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}}$, $r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}}$, $r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}$

유리표현 약분

분수는 다항식에서도 통용됩니다. 두 다항식

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

$q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

에 대해서 우리는 분수꼴의 식

${\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}$

을 쓸 수 있습니다. 이런 두 다항식의 분수꼴을 유리표현(rational expression)이라고 부릅니다. 우리는 많은 경우 복잡한 분수를 약분하고 싶어합니다. 한 가지 예시로 ${\frac {x^{2}-1}{x+1}}$을 생각해 볼 수 있을겁니다. 위에서 살펴본 인수분해와 합쳐서 이 것은 다음과 같이 약분할 수 있을 겁니다.

${\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}=x-1$, $x\neq -1$

이런 행위는 때때로 좋습니다. 보세요. 원래 식에서는 감춰져있었던 $x-1$이라는 본질(그리고 $x$는 -1은 되지 말아야한다는 조건)을 얻었습니다.

절대값

실수에 대해서는 확인하지 않았던 사실 두 가지가 있습니다. 실수는 다음의 두 진술을 따르게 됩니다.

모든 $a$에 대해서

• $0\leq a^{2}$
• $0\leq |a|$이다.

첫번째 진술은 두번째 진술의 기호를 만드는 힌트가 됩니다. 모든 실수는 자기 자신의 제곱에 대해서 양수이면서, 우리가 논의한 적은 없지만, 크기도 자기 자신의 절대값의 제곱입니다. 따라서 우리는 실수에 대해서는 절대값 기호 $|\cdot |$를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

정의: 절대값

$\mathbb {R}$ 안의 $a$에 대해서 $|a|={\sqrt {a^{2}}}$이다.

약간의 주의가 필요한 것은 제곱근 기호 밖에 제곱을 붙이는 것이 아니라는 것입니다. 이 경우 우리가 다루는 실수에서는 연산을 할 수 없는(즉 a가 음수인 경우) 상황이 나오기 때문에 규칙위반입니다. 규칙을 넘어서 다른 수 체계를 끌고오면 위의 식은 성립하지 않습니다.

이로써 미적분학에서 필요한 실수의 특징을 배웠습니다.