정의: 테일러 급수
함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}
로 표현할 수 있으면
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
해석적 이라고 말한다. 해석적인 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
테일러 전개 혹은 테일러 급수 는 다음과 같이 표현한다.
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle sin(x)}
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13
차 다항식여기서
n
!
{\displaystyle n!}
n
{\displaystyle n}
팩토리얼 이고,
f
(
n
)
(
a
)
{\displaystyle f^{(n)}(a)}
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
(
a
−
r
,
a
+
r
)
{\displaystyle (a-r,a+r)}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
해석적 이라고 합니다. 급수가
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
테일러 정리 를 사용하여 나머지 항에 대해 추정치를 계산합니다. 함수가 해석적인 것과 함수의 멱급수가 그 함수로 수렴하는 것은 동치(iff)입니다. 이 때의 멱급수의 계수는 필연적으로 테일러 전개의 식과 같게 됩니다.
또,
a
=
0
{\displaystyle a=0}
매클로린 급수 (Maclaurin Series)라고 부릅니다.
멱급수의 표현의 중요성은 세 가지 측면에서 나타납니다. 첫째, 멱급수를 미분과 적분할 때 각 항에 대해 할 수 있어, 미분과 적분이 특히나 쉬워집니다. 둘째, 해석적인 함수는 복소평면 상의 열린 원판 상에서 정의되는 정칙함수 가 유일하게 전개되어, 복소해석 의 모든 전개가 가능해지게 합니다. 셋째, (잘린)급수는 전개를 한 지점 근처의 함수값에 대한 유용한 근사 값을 줍니다.
예시를 하나 들어봅시다.
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
sin
(
n
)
(
0
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin ^{(n)}(0)}{n!}}(x-a)^{n}}
=
sin
(
0
)
+
cos
(
0
)
1
!
x
+
−
sin
(
0
)
2
!
x
2
+
−
cos
(
0
)
3
!
x
3
+
sin
(
0
)
4
!
x
2
+
⋯
{\displaystyle =\sin(0)+{\frac {\cos(0)}{1!}}x+{\frac {-\sin(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {-\cos(0)}{3!}}x^{3}+{\frac {\sin(0)}{4!}}x^{2}+\cdots }
=
x
−
x
3
6
+
x
5
120
−
x
7
5040
+
⋯
{\displaystyle =x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{7}}{5040}}+\cdots }
가 됩니다. 삼각함수는 각도와 관련된 값이기 때문에, 특히
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
sin
(
x
)
=
x
{\displaystyle \sin(x)=x}
w:작은 각도 근사 에서 볼 수 있듯이, 대충 10도의 각도까지는 큰 차이 없이 사용할 수 있습니다.
우리는 이제 함수를 무한 멱급수로 표현하고 싶다고 가정합시다. 아니면 달리 말해서 "무한한" 차수의 다항식을 전개하고 싶다고 말해도 무관합니다. 각각의 항은 유일한 계수를 가지고 있다고 가정을 합니다, 다른 유한 항 다항식이 그런 것처럼 말이죠. 그럼 우리는 관심 있는 함수
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
c
0
(
x
−
a
)
0
+
c
1
(
x
−
a
)
1
+
c
2
(
x
−
a
)
2
+
c
3
(
x
−
a
)
3
+
⋯
+
c
n
(
x
−
a
)
n
+
⋯
{\displaystyle f(x)=c_{0}(x-a)^{0}+c_{1}(x-a)^{1}+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+\cdots +c_{n}(x-a)^{n}+\cdots }
여기서
a
{\displaystyle a}
c
0
,
c
1
,
c
2
,
c
3
,
.
.
.
,
c
n
,
.
.
.
{\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},...,c_{n},...}
∑
n
=
0
∞
c
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}
로 표현합시다. 지금은 계수를 하나하나 찾는 것만큼 뚜렷한 게 없습니다. 그러나 그런 방법은 그다지 유용하지 않습니다. 따라서 계수들을 찾는 일반적인 방법이나 패턴을 찾아봅시다. 이제, 우리는 첫 번째 계수를 찾는 단순한 방법을 살펴봅시다. 식에서
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
(
a
)
=
c
0
{\displaystyle f(a)=c_{0}}
입니다. 이 식이
c
0
{\displaystyle c_{0}}
f
′
(
x
)
=
c
1
(
x
−
a
)
0
+
2
c
2
(
x
−
a
)
1
+
3
c
3
(
x
−
a
)
2
+
3
c
4
(
x
−
a
)
3
+
⋯
+
n
c
n
(
x
−
a
)
(
n
−
1
)
+
⋯
{\displaystyle f'(x)=c_{1}(x-a)^{0}+2c_{2}(x-a)^{1}+3c_{3}(x-a)^{2}+3c_{4}(x-a)^{3}+\cdots +nc_{n}(x-a)^{(n-1)}+\cdots }
우리는
c
n
{\displaystyle c_{n}}
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
f
′
(
a
)
=
c
1
{\displaystyle f'(a)=c_{1}}
을 얻을 수 있습니다. 일차도함수에서 상수항이 계수를 결정했음(
c
1
(
x
−
a
)
0
{\displaystyle c_{1}(x-a)^{0}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
f
″
(
x
)
=
2
c
2
(
x
−
a
)
0
+
(
2
×
3
)
c
3
(
x
−
a
)
+
(
3
×
4
)
c
4
(
x
−
a
)
2
+
(
4
×
5
)
c
5
(
x
−
a
)
3
+
⋯
+
n
(
n
−
1
)
c
n
(
x
−
a
)
(
n
−
2
)
+
⋯
{\displaystyle f''(x)=2c_{2}(x-a)^{0}+(2\times 3)c_{3}(x-a)+(3\times 4)c_{4}(x-a)^{2}+(4\times 5)c_{5}(x-a)^{3}+\cdots +n(n-1)c_{n}(x-a)^{(n-2)}+\cdots }
이고, 우리는 똑같은 방법으로,
f
″
(
a
)
=
2
c
2
{\displaystyle f''(a)=2c_{2}}
를 얻을 수 있습니다. 원래의 급수에서
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
f
‴
(
x
)
=
(
2
×
3
)
c
3
(
x
−
a
)
0
+
(
2
×
3
×
4
)
c
4
(
x
−
a
)
+
(
3
×
4
×
5
)
c
5
(
x
−
a
)
2
+
(
4
×
5
×
6
)
c
6
(
x
−
a
)
3
+
⋯
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
c
n
(
x
−
a
)
(
n
−
3
)
+
⋯
{\displaystyle f'''(x)=(2\times 3)c_{3}(x-a)^{0}+(2\times 3\times 4)c_{4}(x-a)+(3\times 4\times 5)c_{5}(x-a)^{2}+(4\times 5\times 6)c_{6}(x-a)^{3}+\cdots +n(n-1)(n-2)c_{n}(x-a)^{(n-3)}+\cdots }
또 다시
x
=
a
{\displaystyle x=a}
f
‴
(
a
)
=
(
2
×
3
)
c
3
{\displaystyle f'''(a)=(2\times 3)c_{3}}
입니다. 이제, 패턴이 점점 선명해지네요.(귀찮아서 이러는 거 아닙니다.)
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
{\displaystyle n(n-1)(n-2)}
n
!
{\displaystyle n!}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
!
{\displaystyle n!}
c
n
{\displaystyle c_{n}}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
c
n
{\displaystyle c_{n}}
n
!
×
c
n
=
d
n
d
x
n
f
(
a
)
{\displaystyle n!\times c_{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(a)}
또는
c
n
=
f
(
n
)
(
a
)
n
!
{\displaystyle c_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}
로 표현합니다.(여기서
f
(
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f^{(0)}=f(x)}
f
(
1
)
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle f^{(1)}=f'(x)}
f
(
2
)
=
f
″
(
x
)
{\displaystyle f^{(2)}=f''(x)}
∑
n
=
0
∞
c
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}
과 우리가 얻은
c
n
{\displaystyle c_{n}}
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
를 얻을 수 있습니다.
이것이 모든 테일러 급수의 정의입니다. 우리가 이 급수를 얻었어도, 주어진 해석적인 함수에 대해서 어떻게 그 함수의 테일러 급수를 유도하는지 아직 모르지 않나요? 물론 정의를 따라 필요한 정보들로 채워나갈 수 있을 겁니다. 하지만
n
{\displaystyle n}
특정한 패턴을 찾아보는 것이 좋을 것 같습니다.
첫째로, 우리는
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
n
{\displaystyle n}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
a
{\displaystyle a}
f
c
u
t
(
x
)
{\displaystyle f_{cut}(x)}
f
c
u
t
(
a
)
=
f
(
a
)
{\displaystyle f_{cut}(a)=f(a)}
0
{\displaystyle 0}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
cos
(
a
)
=
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(a)=\cos(0)=1}
이 되어야 합니다. 이것이 첫 번째 항의 계수입니다.
a
=
0
{\displaystyle a=0}
1
0
!
x
0
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{0!}}x^{0}=1}
여기서
0
!
=
1
{\displaystyle 0!=1}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
−
sin
(
x
)
{\displaystyle -\sin(x)}
d
d
x
cos
(
0
)
=
−
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(0)=-\sin(0)=0}
임을 확인할 수 있습니다. 이는 급수의 두 번째 항은
0
1
!
x
1
=
0
{\displaystyle {\frac {0}{1!}}x^{1}=0}
임을 나타냅니다. 이제 세 번째 항을 찾아봅시다. 위의 과정을 따라
d
2
d
x
2
cos
(
0
)
=
−
cos
(
0
)
=
−
1
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos(0)=-\cos(0)=-1}
입니다.
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
1
2
!
x
2
=
1
2
x
2
{\displaystyle {\frac {-1}{2!}}x^{2}={\frac {1}{2}}x^{2}}
이고, 네 번째 항은
d
3
d
x
3
cos
(
0
)
=
sin
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\cos(0)=\sin(0)=0}
0
3
!
x
3
=
0
{\displaystyle {\frac {0}{3!}}x^{3}=0}
다섯 번째 항은
d
4
d
x
4
cos
(
0
)
=
cos
(
0
)
=
1
{\displaystyle {\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\cos(0)=\cos(0)=1}
1
4
!
x
4
=
1
24
x
4
{\displaystyle {\frac {1}{4!}}x^{4}={\frac {1}{24}}x^{4}}
입니다. 눈치 채셨나요?
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
4
n
{\displaystyle 4n}
1
0
!
x
0
,
0
1
!
x
1
,
−
1
2
!
x
2
,
0
3
!
x
3
,
1
4
!
x
4
,
0
5
!
x
5
,
−
1
6
!
x
6
,
.
.
.
{\displaystyle {\frac {1}{0!}}x^{0},{\frac {0}{1!}}x^{1},{\frac {-1}{2!}}x^{2},{\frac {0}{3!}}x^{3},{\frac {1}{4!}}x^{4},{\frac {0}{5!}}x^{5},{\frac {-1}{6!}}x^{6},...}
이걸 간략하게
1
,
0
,
−
x
2
2
,
0
,
x
4
24
,
0
,
−
x
6
720
,
.
.
.
{\displaystyle 1,0,-{\frac {x^{2}}{2}},0,{\frac {x^{4}}{24}},0,-{\frac {x^{6}}{720}},...}
으로 표현할 수 있고, 우리의 궁극적인 목적은 급수를 새우는 것이기 때문에, 필요없는 0인 항들을 없애면 새로운 수열
1
,
−
x
2
2
,
x
4
24
,
−
x
6
720
,
.
.
.
{\displaystyle 1,-{\frac {x^{2}}{2}},{\frac {x^{4}}{24}},-{\frac {x^{6}}{720}},...}
을 얻을 수 있습니다. 자... 이제 패턴이 보이는 것 같습니다. 하지만 분모와 분자를 분리해서 보는 것이 더 좋을 것 같네요.
분자:
1
,
−
1
,
1
,
−
1
,
.
.
.
{\displaystyle 1,-1,1,-1,...}
분모:
0
!
,
2
!
,
4
!
,
6
!
,
.
.
.
{\displaystyle 0!,2!,4!,6!,...}
그리고 n번째 항들에 있는
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
0
,
x
2
,
x
4
,
x
6
{\displaystyle x^{0},x^{2},x^{4},x^{6}}
이 지점에서 분모와
x
{\displaystyle x}
(
2
n
−
1
)
!
=
B
u
n
m
o
n
{\displaystyle (2n-1)!=Bunmo_{n}}
로, x항에서는
x
2
n
−
1
=
x
H
a
n
g
n
{\displaystyle x^{2n-1}=xHang_{n}}
으로 나타난다는 것입니다. 마지막으로 분자는 굳이 이렇게 써야 하는지 의문을 가질 수는 있어도, 다음과 같은 패턴을 가지고 있습니다.
(
−
1
)
n
−
1
{\displaystyle (-1)^{n-1}}
우리의 위대한 발견들을 한데 모아서 수열의 n차항을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
x
2
n
−
1
=
H
a
n
g
n
{\displaystyle {\frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}}x^{2n-1}=Hang_{n}}
이제 이걸 급수로 조합하면
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
∑
(
n
=
1
)
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \sum _{(n=1)}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}}x^{2n-1}}
입니다.
다음 함수의 테일러 급수(매클로린 급수)를 구해보세요.
모든
x
{\displaystyle x}
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
모든
x
{\displaystyle x}
e
x
{\displaystyle e^{x}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
1
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
모든
x
{\displaystyle x}
sinh
{\displaystyle \sinh }
모든
x
{\displaystyle x}
cosh
{\displaystyle \cosh }
특정 분야에서 자주 사용되는 테일러 급수의 예시입니다. 이 테일러 급수들은 실수 뿐만 아니라 우리가 다루는 범위를 넘은 복소 argument
x
{\displaystyle x}
지수함수 자연로그 :
모든
x
{\displaystyle x}
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
x
n
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}}
기하급수 :
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}
이항 급수 :
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
α
{\displaystyle \alpha }
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}
삼각함수 :
모든
x
{\displaystyle x}
sin
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}}x^{2n-1}}
모든
x
{\displaystyle x}
cos
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}}
tan
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}}
sec
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
{\displaystyle \sec(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
arcsin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
arctan
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
{\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}
쌍곡선 함수 :
모든
x
{\displaystyle x}
sinh
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
x
2
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
{\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}}
모든
x
{\displaystyle x}
cosh
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}}
tanh
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
{\displaystyle \tanh(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
a
r
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
{\displaystyle {\rm {arsinh}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
x
2
n
−
1
2
n
−
1
{\displaystyle {\rm {artanh}}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{2n-1}}}
람베르트 W 함수 :
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle |x|<{\frac {1}{e}}}
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}}
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
tanh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x)}
B
k
{\displaystyle B_{k}}
베르누이 수 를 의미합니다. 이항 급수에서 나오는
(
α
n
)
{\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}}
이항 계수 로,
α
C
n
{\displaystyle {}_{\alpha }C_{n}}
α
C
n
{\displaystyle {}_{\alpha }C_{n}}
s
e
c
(
x
)
{\displaystyle sec(x)}
E
k
{\displaystyle E_{k}}
오일러 수 를 의미합니다.
굳이 따로 이름까지 붙여야 하는 수열을 급수를 표현하는데 도입했다는 것은 그만큼 표현하기에 깔끔하지 않다는 것을 의미하며, 이것의 비공식적인 뜻은 "굉장히 복잡하고 더러워서 적기 싫었다"는 뜻입니다.
