미적분학/함수

간단하게 두 개의 관계를 잇는 것부터 복잡한 열 방정식의 관계를 따지는 것까지, 함수는 어디에든 있습니다. 이 챕터에서는 함수의 기본에 대해 초점을 맞출 겁니다: 정의나 기본적인 개념, 다른 측면에서의 정의들이 포함될겁니다. 이는 매우 무거운 개념이자, 읽거나 이해하기 굉장히 전문적일겁니다. 그러나, 이 챕터에서는 다음 챕터를 위한 간단한 리뷰와 소개로 다룰 것입니다.

소개

정의: 함수

함수를 이해하는 쉬운 그러나 어렴풋한 길은, 함수를 하나의 처리(프로세서)처럼 기억하는 것입니다. 어떠한 입력이 들어오면 적절하게 출력을 내놓는 처리 말입니다. 형식적으로 집합 $X$ 에서 집합 $Y$ 로의 함수 $f$ 는 $x\in X$ , $y\in Y$ 인 두 원소에 대해서 $(x,y)$ 이면서, 모든 $x$ 가 오로지 하나의 순서쌍만 가지는 순서쌍 집합 $G$ 로 정의됩니다. 다시 말해서, $X$ 안의 모든 $x$ 에 대해(for all $x$ in $X$ ) 함수 $f$ 로 정의되는 순서쌍 $(x,y)$ 를 따라 완벽하게 하나의 원소 y를 가져야 합니다. 집합 $G$ 는 함수의 그래프라고 부릅니다. 형식적으로 말해서, 그래프를 함수와 동일시 할 수 있지만, 이는 함수를 처리로서 해석하는 것을 숨깁니다. 따라서, 넓은 분야에서 함수는 일반적으로 함수의 그래프와는 구분됩니다.

한 양이 다른 양의 값을 유일하게 결정하게 될 때 우리는 함수라고 부릅니다. 이는, 집합 $X$ 가 유일하게 집합 $Y$ 를 결정하는 것입니다. 여러분들은 함수를 일종의 기계처럼 생각할 수 있습니다. 여러분이 기계에 원재료를 넣으면, 기계는 그것을 완성된 가공품으로 바꾸는 것처럼 말입니다.

표기법

함수는 너무 자주 사용하기 때문에 이것을 위한 특별한 표기법이 있습니다. 이런 표법은 상당히 모호하기 때문에, 공식이나 방정식의 의도를 파악하기 위해 익숙해지는 것은 중요합니다.

함수의 이름을 짓는데는 강제하는 규칙 같은 건 없습니다만, 보통 알파벳의 $f$ 부터 시작합니다. 미지수가 $x$ 부터 시작하는 것처럼요. 아, 이제 미지수라고 부르면 안되겠군요. 함수에 들어가는 순간부터 미지수라는 말보다 변수(變數, variable)라는 말이 더 어울릴 것 같습니다. 모르는 수라기보다는 슬라이더를 움직이는 것처럼 $x$ 를 원하는 것으로 바꿔서(變) 함수가 무엇을 가리키고 있는 지를 보고 싶으니까요.

함수는 $f$ 라고 쓸 수도 있습니다만, 이 경우에는 의도가 분명하지 않습니다. 모호한 것보다 더 모호합니다. 함수는 어떤 집합을 넣어서 결과물로 내보내야 하는데, 어떤 집합이 뭔지 제대로 안 적혀있으니 말입니다. 착즙기라는 함수를 생각하면, 과일이나 야채라는 집합이 필요합니다. 착즙기라는 단어만으로 뭘 넣을지는 생각할 수 있겠지만, 수학에서도 그러면 너무 알기 힘듭니다.(착즙기에 다른 걸 넣어보려고 하는 사람도 있으니 주의사항으로 뭘 넣어야 하는지 적는 것도 필요하긴 하겠군요.) 그래서, 함수를 쓸 때는 어떤 게 들어갈 지를 적습니다. 함수 $f$ 가 $x$ 를 변수로 가지면 $f(x)$ 라고 적습니다. 위의 예시에서는 착즙기가 과일만을 착즙하는 착즙기라면 착즙기(과일)라고 적는 꼴과 같습니다. 넣는 과일은 마음대로 정할 수 있기 때문에 과일은 독립변수입니다. 마찬가지로 $f(x)$ 의 $x$ 도 딱히 종속되지 않기 때문에 독립변수(independent variable)라고 부릅니다.

반면에 함수로 나오는 결과물은 정해져있습니다. 이것도 여전히 어떤 집합의 원소이고, 대충 미지수 $y$ 처럼 쓸 수 있으며, 변수라고 부르기도 충분합니다. 하지만 $x$ 와 다른 것은 마음대로 정해지지 않고, 우리가 독립변수 $x$ 를 고르면 정해지는 변수라는 겁니다. 따라서 우리는 이런 변수를 종속변수(dependent variable)라고 합니다.

함수의 예시를 들어봅시다.

f(x)=7x+1

와 같은 함수는 $x$ 를 변수(제약이 없으므로 독립변수)로 갖는 함수이고, 이 변수에 따라 값이 달라집니다. 가령 $x=2$ 일 때 함수는,

f(2)=7\times (2)+1=15

로 이 때의 함수는 15가 됩니다. 함수에도 곱셈을 할 수 있습니다. 가령 함수 $f(x)$ 에 3을 곱한다면, 그것은 $3f(x)$ 가 됩니다. 헷갈리지 않기 위해 미지수를 적는 것과 같이 숫자는 함수의 왼쪽에 두도록 합시다.