상대성 이론/일반상대론/작용원리

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아인슈타인 이론의 작용 원리 (Action Principle of Einstein Theory)[+/-]

힐버트-아인슈타인 작용 (Hilbert-Einstein Action)[+/-]

다른 장이론과 마찬가지로 중력이론 또한 좌표를 인수(parameter)로 하는 메트릭 장 변수로 기술되는 장이론이므로 작용으로 이론을 기술할 수 있을 것이다. 여기서 기본 변수는 가 되어야 하나, 그 역인 또한 온전히 자신 으로 기술되므로, 변분에 있어서 , 두 가지에 대항하는 항 모두가 같이 섞여나와도 상관없다.

우선은 힐버트-아인슈타인 항 의 변분의 체적항이 아인슈타인 방정식이 됨을 보이려 한다. 이를 위해 우선 다음과 같은 작은 정리들을 증명하도록 하자.

  • 는 체적항(bulk term)이 없고 경계항(boundary term)만 있다.

여기서 의 변화로 다른 텐서와는 다르게 메트릭의 성질에 따라 이므로 주의하도록 하자. 첫번째 소정리는 행렬의 성질 을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

두번째 소정리를 보이기 위해서 첨자(index)를 풀어헤치면 다음과 같이 된다.
이러한 결과를 보기 위하여 다음과 같이 곡률 텐서 뿐 아니라 텐서가 아닌 연결(connection)의 경우도 변분을 취하면 텐서가 됨을 보일 필요가 있다.

이 작용은 국소 로렌츠변환에 대해서 명백히 불변이다. 광역 로렌츠대칭에 대해서는 경계면의 문제가 있으므로 말하기 어렵다. (경계면이 대칭을 가지고 있다면 보통 광역대칭이 국소대칭보다 약한 조건이다.)

기본스-호킹-요크 경계항 (Gibbons-Hawking-York Boundary Term)[+/-]

보통 작용원리는 디리클레 경계조건에서 올바른 운동방정식을 주기를 요구한다.