음향학/음향학의 기초

소리는 기체, 액체, 고체를 통해 전달되는 진행파 형태의 압력의 진동(Oscillation)으로, 매질 안의 국소적인 임의의 진동으로 생겨날 수 있다. 소리의 진행을 이해하는 쉬운 방법 중 하나는 얇은 층으로 나눌 수 있는 공간을 고려하는 것이다. 이러한 층들에서의 (압축과 이완을 반복하는)떨림(viberation)이 특저안 속도를 가지며 소리가 전달되어, 파동을 만들어낸다. 소리의 속도는 매질의 압축성과 밀도에 기인한다.

이 챕터에서는 우리는 균질한 유체에서, 음원이 존재하지 않는 음파의 진행을 고려할 것이다.

파동방정식

음파는 스칼라 양, 음향적인 과압(過壓,over-pressure)의 진행으로 구성되어 있다. 정적(靜的, stationary, 정지가 아니다.)인 매질(정적인 공기나 물 등)에서의 음파의 진행은 다음과 같은 방정식을 따른다.(파동방정식 참고)

$\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

음파의 진행방정식에서 $c_{0}$ 는 진행하는 (공기층의 떨림(vibration) 속력와는 관련없는)음파의 속력을 의미한다. 음파의 진행속력은 다음과 같이 표현된다.

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{s}}}}$

여기서 $\rho _{0}$ 는 진행 매질의 밀도를, $\chi _{s}$ 는 압축률을 의미한다.

파동 방정식을 유도하는 세 가지 방정식

다른 파동에 대해서도 파동방정식은 유효하게 적용되지만, 유체에서 파동방정식은 다음 세 가지 방정식으로부터 유도할 수 있다. 우리가 다루고자 하는 매질이 이상기체로, 소리의 감쇠에 비해 응력 변화가 굉장히 작으면서, 매질의 점성과 열전도는 무시가능하다고 가정하였을 때 얻을 수 있는 방정식이다.

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\underline {u}})=0$ 질량 보존의 법칙의 연속방정식 꼴
${\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P_{ji}}{\partial x_{j}}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=0$ 운동량 보존 법칙의 보존 방정식(오일러 방정식)
$c^{2}\rho =p$ 열역학적 구성 방정식

이것에 대한 세부사항은 유체역학에서 확인하라. 보존법칙을 연속방정식으로 나타내는 것은 w:연속 방정식이나 w:보존 법칙에서 확인할 수 있다.

헬름홀츠 방정식

음향파의 속도장 ${\underline {v}}$ 는 회하지 않으므로(curl이 0이므로), 음향 포텐셜 $\Phi$ 를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\underline {v}}=grad\Phi$

윗 문단의 진행방정식을 사용하여, 우리는 간단하게

$\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0$

를 얻을 수 있고, 푸리에 변환을 사용하여, 우리는 더 넓게 사용하는 헬름홀츠 방정식

$\nabla ^{2}{\hat {\Phi }}+k^{2}{\hat {\Phi }}=0$

을 얻을 수 있다. 여기서 $k$ 는 $\Phi$ 와 관련한 파수이다. 이 방정식을 사용하는 것이, 음향학적인 문제들을 푸는 가장 간단한 방법일 때가 많다.

음향세기와 데시벨

음향 세기(acoustic intensity)는 파동진행과 관련된 음향에너지플럭스로 표현할 수 있다.

${\underline {i}}(t)=p{\underline {v}}$

우리는 이것을 평균 세기로 정의할 수 있다.

${\underline {I}}=\langle {\underline {v}}\rangle$

그러나, 음향세기는 소리 수준을 표현하는데는 좋은 생각이 아니다. 우리의 소리에 대한 감각은 지수적이기 때문이다. 그래서 우리는 음향과압이나 음향평균세기를 사용하여 데시벨을 정의할 수 있다.

$p^{dB}=20log\left({\frac {p}{p_{ref}}}\right)$ ; $L_{I}=10log\left({\frac {I}{I_{r}ef}}\right)$

여기서 기준 압력은 공기 중에서 $p_{ref}=2\times 10^{-5}Pa$ , 다른 매질에서 $p_{ref}=10^{-6}Pa$ 이고, 기준 음향평균세기는 $I_{ref}=10^{-12}W/m^{2}$ 이다.

파동 방정식 풀이

평면파

우리가 음파의 진행에 대해서 연구하려면, 아주 멀리 떨어진 음원에서, 1차원 평면파를 고려할 수 있을 것이다. 진행방향이 x축을 따라 간다고 하면, 솔루션은

$\Phi (x,t)=f\left(t-{\frac {x}{c_{0}}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{c_{0}}}\right)$

로 주어진다. 여기서 f와 g는 어떤 함수도 될 수 있다. f는 x축 양의 방향으로 진행하는 ,g는 역방향으로 진행하는 운동을 묘사한 함수다.

운동량 방정식은, $p$ 와 ${\underline {v}}$ 의 관계로 주어지고, 다음과 같이 정의할 수 있는 비 임피던스(specific impedance, $Z$ )로 표현된다.

${\frac {p}{v}}=Z=\pm \rho _{0}c_{0}$

그리고 평면파의 경우에는, 당연히 우리는 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

${\underline {I}}=\pm {\frac {p^{2}}{\rho _{0}c_{0}}}{\underline {e_{x}}}$

구면파

더 일반적으로 파동은 아무 방향으로 나아갈 수 있고, 구면파를 그리게 된다. 이런 경우에는 음향 포텐셜 $\Phi$ 의 솔루션은

$\Phi (x,t)={\frac {1}{r}}f\left(t-{\frac {r}{c_{0}}}\right)+{\frac {1}{r}}g\left(t+{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

로 나타난다. 음원까지의 거리가 늘어날 때마다 포텐셜이 선형적으로 줄어드는 것은, 에너지 보존 법칙에 위배되지 않는다. 구면파의 경우,음향세기 만큼이나 비 임피던스를 쉽게 계산할 수 있다.

경계조건

파동방정식을 풀기 위해 경계조건을 생각할 때, 우리는 두 가지 상황으로 나눠서 생각할 수 있다. 매질의 흡수성을 고려하지 않는 경우, 경계조건은 일반적인 역학 방정식을 이용해서 설정할 수 있다. 그러나, 흡수가 존재하는 매질의 경우, 음향임피던스의 개념을 이용하는 것이 더 간단하다.

비흡수매질

이 경우, 우리는 계면 상에서 응력과 속도 모두 명확한 경계조건을 얻을 수 있다. 이 경우에는 매질이 고체인지, 비점성유체인지, 점성유체인지만 고려하면 된다.

흡수 매질

여기서, 우리는 음향 임피던스를 경계조건으로 생각할 것이다. 이 임피던스는 많은 경우 실험을 통해 얻는 측정값으로 주어져, 재료, 유체, 음파의 주파수에 의존한다.