통합 수학/집합과 명제/집합

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집합의 뜻과 표현[+/-]

우리는 일상에서 종종 '집합'이라는 말을 쓰곤 한다. 이때의 집합은 여럿이 모여 한 무리를 이룬다는 의미일 것이다. 수학에서는 이와는 조금 다르게 정의하고 있다. 즉 그 대상이 무엇인지 명확하게 구별할 수 있는 모임만을 집합이라 한다. 집합은 수학의 가장 기본적인 개념 중 하나로, 앞으로 배우게 될 명제와 함수 등에서도 집합을 바탕으로 그 용어가 정의되고 내용이 전개된다. 이 단원에서는 수학적 의미의 집합의 뜻에 대하여 배우고, 집합을 나타내는 방법에 대하여 알아보자.


집합과 원소의 뜻[+/-]

우리의 일상에는 여러 종류의 모임이 있다. 이 중에는 모임에 속하는 대상이 명확한 것도 있고 명확하지 않은 것도 있는데, 모임에 속하는 대상이 명확한 것만을 수학적 의미의 집합이라 한다.

모임(일상적 의미)[+/-]
  • 3보다 작은 자연수의 모임
  • 예쁜 꽃들의 모임
  • 우리나라 고등학생들의 모임
  • 장동건을 닮은 사람들의 모임
집합(수학적 의미)[+/-]
  • 3보다 작은 자연수의 집합
  • 우리나라 고등학생들의 집합


'3보다 작은 자연수', '우리나라 고등학생'과 같은 조건은 그 대상이 명확하므로 그 모임은 집합이지만, '예쁜 꽃', '장동건을 닮은 사람'과 같은 조건은 그 대상이 명확하지 않으므로 그 모임은 집합이 아니다. 한편 '3보다 작은 자연수의 집합'의 원소는 1,2이고, OO 고등학교 1학년 1반 XXX는 '우리나라 고등학생들의 집합'의 원소 중 하나이다.

집합은 주로 알파벳 대문자 A, B, C, ...로 나타내고, 원소는 소문자 a, b, c, ...로 나타낸다.


개념 정리

집합: 그 대상을 분명히 알 수 있는 모임을 집합이라 한다.

원소: 집합을 구성하는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라 한다.


집합과 원소의 관계[+/-]

5보다 작은 자연수의 집합을 A라 하면 집합 A의 원소는 1, 2, 3, 4이므로

  1. 2는 집합 A의 원소이다. <=> 2는 집합 A에 속한다. <=> 2∈A
  2. 6은 집합 A의 원소가 아니다 <=> 6은 집합 A에 속하지 않는다 <=> 6∉A

기호 ∈는 원소를 뜻하는 Element의 첫 글자 E의 모양을 따서 만든 것이다.


개념 정리

원소집합


집합을 나타내는 방법[+/-]

원소나열법[+/-]

원소나열법은 말 그대로 원소를 나열하여 집합을 나타내는 방법이다. 예를 들어 6의 양의 약수와 집합 A는 양의 약수 1, 2, 3, 6을 모두 괄호 { } 안에 써서

{1, 2, 3, 6}

으로 나타내면 된다. 이때 원소를 나열하는 순서는 관계없지만, 같은 원소는 중복하여 쓰지 않는다. 즉 집합 A를 {6, 3, 2, 1}로 나타낼 수는 있지만, {1, 1, 2, 3, 6}과 같이 쓰지는 않는다. 한편 자연수의 집합과 같이 원소의 개수가 많아 일일이 쓰기 어려운 경우에는 '...'을 사용하여 원소의 일부를 생략하고 {1, 2, 3, 4, ...}로 나타낸다.

교육과정에서 약수, 배수 등은 자연수로 범위를 국한하나, 용어의 엄밀성을 위해 정수의 범위에서 생각하여, '양의 약수', '양의 배수'와 같이 표현하였다. 예를 들어 5의 양의 약수는 1, 5를, 5의 약수는 -5, -1, 1, 5를 의미하는것으로 본다.


조건제시법[+/-]

집합에 속하는 모든 원소를 대표하는 원소를 x라 하고, 대표 원소 x가 만족시켜야 하는 조건을 p(x)라 할 때, 집합을

{x l p(x)}

와 같이 나타내는 것을 조건제시법이라 한다. 조건제시법에서 나타내어진 집합은 대표 원소에 주목해서 이해해야 한다. 예를 들어

{개똥이 l 소똥이}

로 주어진 집합은 대표 원소가 개똥이이므로 '소똥이'라는 조건을 만족시키는 '개똥이'들의 모임임을 알 수 있다. 같은 원리로

{x l x는 6의 양의 약수}

는 대표 원소가 x이므로 'x는 6의 양의 약수'라는 조건을 만족시키는 'x'들의 모임, 즉 {1, 2, 3, 6}이다.


조건제시법으로 나타내는 이유[+/-]

예를 들어 집합을 {3, 6, 9, 12, 15, ...}와 같이 나타내면 원소가 3씩 증가하는 규칙이 있음을 알 수 있어 이 집합의 모든 원소를 예상할 수 있다. 즉 이 집합이 3의 양의 배수의 집합임을 알 수 있다. 그러나 소수들의 집합을 {2, 3, 5, 7, 11, ...}과 같이 나타내면 원소 사이에 어떤 규칙이 있는지 발견하기 어려우므로 원소나열법으로 나타내는 것으로는 집합의 성격을 명확히 할 수 없다. 이와 같은 경우 조건제시법을 이용하여 {x l x는 소수}와 같이 나타내면 집합을 명확하게 나타낼 수 있다.


개념 정리

원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 하나하나 괄호 { } 안에 나열하여 집합을 나타내는 방법을 원소나열법이라 한다. ( 원소가 a, b, c인 집합 => {a, b, c} )

조건제시법: 집합에 속하는 모든 원소가 갖는 공통된 조건(성질)을 제시하여 집합을 나타내는 방법을 조건제시법이라 한다. ( 조건 p(x)를 만족시키는 x들의 집합 => {x l p(x)} )

벤 다이어그램: 특정한 형식으로 집합을 나타낸 그림을 벤 다이어그램이라 한다.


부분집합[+/-]

부분 집합이란 집합속의 원소들을 따로 분리시켜 만든 또다른 집합들을 의미한다.

서로 같은 집합과 진부분집합의 뜻[+/-]

부분집합의 개수[+/-]

특정한 원소를 갖는 부분집합의 개수[+/-]

집합의 연산[+/-]

합집합, 교집합, 서로소[+/-]

합집합과 교집합에 대한 성질[+/-]

전체집합, 여집합, 차집합[+/-]

여집합과 차집합에 대한 성질[+/-]

여러 가지 집합의 표현[+/-]

집합의 연산법칙[+/-]

드모르간 법칙[+/-]

대칭차집합[+/-]

배수의 집합의 연산[+/-]

합집합의 원소의 개수[+/-]

여집합과 차집합의 원소의 개수[+/-]