파동/중첩의 원리

파동과 파동이 교차하는 지점

파동이 가지고 있는 재밌는 특성 중 하나는 서로가 서로에게 독립적이라는 것이다.(사실 여러분들을 속이는 가정에 가깝다.) 하나의 파동이 다른 파동과 겹치면 서로 인사하거나 상호작용을 하지 않고, 자기 갈 길만 꿋꿋이 걸어간다. 잔잔한 수면 위에 던진 돌 두 개가 만들어 낸 물결파는 각자 파동원을 중심으로 동그랗게 퍼져나갈 뿐이다.

파동은 파장과 진동수, 진폭과 위상이 있다는 것을 배웠다. 그리고 어느 한 지점에서 파동으로 인한 에너지는 진폭과 위상에 의존한다는 것을 어림잡아 추측 했을 것이다.(*주의, 모든 파동에서 진폭이 에너지 크기를 말하지는 않는다. 대표적인 예시가 빛인데, 빛은 전자기파라서 진폭은 전기장 혹은 자기장의 세기를 말한다. 빛에너지는 빛의 세기(Intensity)에 비례한다. 광학을 참고.) 그러면 한 지점에서 추측한 에너지는 어떠한가?

정답은 각각의 파동의 (에너지라고 추측되는 물리량인)에너지의 합이다. 한 지점에서 여러 파동이 가져다 주는 물리량은 각각의 파동의 물리량의 합으로 나타난다. 이것을 중첩의 원리(superposition principle)라고 부른다.

(그림 필요) 물론 파동의 중첩은 단번의 흔들림으로 전파되는 펄스에 대해서도 생각할 수 있지만, 꾸준한 주기성을 지니는 파동에 대해서도 생각할 수 있다. 두 개의 파동원에 대해서 원형파가 퍼져나가면 오른쪽 그림처럼 어디는 에너지나 진폭의 변화가 없는 음영지대가 되고, 어디는 오히려 두 파동이 죽이 맞으면서 진폭이 두 파동의 진폭의 합으로 뛰게 되는데, 우리는 이것을 간섭(Interference)이라고 한다. 특히 주파수가 같은 두 파동에 대해서 두 파동의 합이 척척맞는 것을 보강간섭이라고 하고, (물론 두 파동은 알아서 제 갈 길 가는 것이지만)두 파동이 서로를 상쇄시키는 것을 상쇄간섭이라고 한다. 옆의 것과 같이 이것을 예쁘개 그리면 아름다운 기하학적인 무늬가 나타는데, 이를 간섭무늬라고 부른다.

액티브노이즈캔슬링(Active Noise Cancelling, ANC)은 이런 상쇄간섭을 이용한, 굉장히 많은 기술과 노력이 들어간 집합체이다. 액티브노이즈캔슬링은 소음을 줄이는 방식 중에 하나로, 그냥 아주 두껍게 소리가 못들어오게 막는 것이 아니라, 헤드셋 등으로 들어오는 소리의 파형을 분석해 반대의 파형을 방출해, 헤드셋을 착용한 사용자에게 소리를 줄이는 방법이다. 마이크와 그것의 파형을 분석하는 장치, 반대 파형을 만들어 소리를 젖송하는 스피커가 소리가 해드셋의 수 cm도 안되는 두깨를 지나가는 시간에 이 모든 것들을 하면서 또 발열도 제어해야 하기 때문에 고단한 노력이나 비싼 가격이 필요했고, 2020년대에 들어서야 소비자가 저렴한 가격에 구할 수 있게 되었다.

1차원에서의 파동의 합(en:Waves/Superposition에서 가져오기)

여러분들을 속였던 가정

이 챕터의 맨 처음에 파동은 서로 독립적이라고 했다. 물론 이것은 여러분들을 속인 가정에 가깝다. 인생사 평탄한 일만 있기 힘들고, 모두가 평화를 바래도 세계평화가 이루어지기 힘든 것처럼, 물리학에서도 이야기하기 피곤한 현실들이 있다. 대충 큰 틀에서는 파동은 서로 독립적이라고 해도 상관은 없지만, 심연을 들여댜보면 마냥 그렇지는 않다.

우리가 파동이 독립적이라고 말하는 것은 "나는 파동을 기술할 때 선형적이라고 가정할거야!"라고 말하는 것과 같다. 선형적이라는 표현은 엄밀하게는 선형성을 만족하는 성질이라는 것으로 선형성은 다음과 같이 정의가 된다.

덧셈과 스칼라곱이 잘 정의된 대수구조 A에서 a,b∈A, c∈K일 때(단, K는 A의 스칼라곱을 잘 정의하도록 하는 스칼라의 대수구조) 다음 두 조건

• f(a+b)=f(a)+f(b)
• f(ca)=cf(a)

을 만족하는 사상 f는 선형성을 지닌다.(선형적이다.)

쉽게 말해, 위에서 말한 것처럼 두 파동이 더해지면 각각의 파동의 합으로 나타나고(첫번째), 진폭이 n배 더 쎈 파동에 대해서 n배 더 큰 진폭으로 나온다는 것이다. 하지만 실제로는 이런 선형성이 안 지켜지는 비선형적인 현상이 비일비재하다.

대표적인 것이 SHG이다. 빛은 진공 중에서 (물론 그 에너지가 굉장히 크지 않다면) 잘 선형적인데, 어떤 매질에 대해서는 매질의 (결정)구조 때문에 비선형적인 현상을 일으킨다. Second Harmonic Generation, 이차조화파는 매질을 통과하면서 위에서는 설명할 수 없는 현상인, 진동수가 2배인 빛을 만들어낸다.

쓰나미의 경우에도 선형적으로 설병할 수 없는데, 쓰나미를 설명하기 위해서는 솔리톤이라는 개념을 도입해서 비선형적 슈뢰딩거 방정식이나 KdV방정식이 필요하다.