파동/투과와 반사와 흡수

기본

매질의 굴절률 차이는 파동의 속력의 변화를 초래한다. 이것으로 인해 파동은 새로운 매질에 진입하면서 굴절하거나 반사하게 된다. 이번 챕터에서는 반사와 투과에 대해서 알아보고, 추가적으로 투과 후의 파동의 흡수에 대해서 알아볼 것이다.

투과와 반사

스넬의 법칙

파동의 투과는 스넬의 법칙(Snell's law)에 따라 설명이 된다. 지난 번 챕터에서 다루었던 스넬의 법칙

${\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {\sin \theta _{i}}{\sin \theta _{t}}}$

를 따라서 $n_{2}$의 굴절률을 가진 매질로 입사하는 파동은 $n_{1}$의 굴절률을 가진 매질에서 진행하는 파동에 대해서 위의 법칙이 성립한다. 그러나 굴절각이 90도를 넘어가면 즉, 오른쪽 그림에서 투과한 빛이 더이상 앞으로 진행하는 성분이 없으면 굴절이 아닌 반사만이 일어난다. 이를 전반사(全反射)라고 한다. 전반사가 일어나는 임계를 임계각(Critical angle)이라고 하는데, 이 임계각에서 빛은 계면을 따라 흐르게 된다. $\sin 90^{\circ }$이므로, 임계각은

$\theta _{crit}=\sin ^{-1}\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$

이다.

반사의 경우 투과와는 달리 입사각과 반사각이 같다. 여러 실험적 관측에서 확인되었던 내용이고, 이것을 헤론이 빛이 최소거리로 이동한다고 정리했고, 페르마는 빛이 최소시간으로 이동한다고 정리하였다. 반사는 이것이 전부이다. 과학자들은 이상적인(단순한) 상황을 위해 투과율과 반사율의 합은 1로 가정하지만, 많은 경우, 흡수가 존재한다.

하위헌스의 원리

하위헌스가 해석한 파동에서 파동은 각각의 점에서 새로운 파동을 만들어냈다.

파동을 기술하는 방법 중 하나는 하위헌스의 원리이다. 크리스티안 하위헌스는 뉴턴과 동시대에 살았던 네덜란드의 과학자로, 뉴턴은 빛을 입자라고 생각했지만, 하위헌스는 빛을 파동이라고 생각했다. 뉴턴이 그랬던 것처럼 하위헌스도 자신의 생각을 주장하기 위해 《Traité de la Lumière》를 썼다. 이 책에 담긴 것이 하위헌스의 원리이다.

빛은 특수한 매질(비선형 매질)이 아니라면 대게 선형적인 특성을 잘 보전하는 파동이다. 이는 간단하게, 빛은 서로에게 영향을 주지 않고 제 갈 길 가는 고고한 파동이라는 것이다. 하위헌스는 이런 빛에 대해서 연구를 했기 때문에, 하위헌스 원리에서 사용되는 파동은 이런 고고한 파동이라고 생각하자.

하위헌스의 원리는 파동이 점에서 퍼져나가듯이, 파동의 최전선에서도 각각의 위치에서 새로운 점파원이 생겨나서, 다음 파동의 최전선을 만들어 내는 주장이다. 오른쪽 그림처럼 평면파와 구면파에서 이런 설명은 잘 맞는다.

하위헌스 원리로 설명한 회절

하위헌스의 원리로 설명할 수 있는 것 중 강력한 것은 파동의 회절이다. 평면파가 구멍 같은 것을 통과할 때, 일상적으로는 물결파가 구멍 뚫린 장애물에 가로막힐 때 통과한 파동은 곧이곧대로 직진하는 것이 아니라, 양 끝의 부분에서 살짝 꺽이는 것을 볼 수 있는데, 이것을 우리는 회절(diffraction)이라고 부른다.

흡수

많은 경우, 파동이 매질 속에서 진행하면서 파동의 진폭이 줄어든다. 거의 유일한 예외는 빛이 진공에서 진행하는 경우인데, 이 경우에도, 흡수는 아니지만, 광원이 사방팔방 퍼지면 진폭이 줄어들고(거리제곱반비례법칙) 훌륭한 레이저라고 하더라도 완벽한 광선을 그리는 것은 아니라서 사실 조금씩 빛의 세기는 작아진다.

매질을 통과하면서 흡수되는 원인은 다양한데, 이것을 하나하나 따지면 굉장히 지루하고 긴 여정이 될 수 있다. 따라서 우리는 아주 간단한 가정만으로 법칙을 유도할 것이다.

흡수는 특정한 양(量)을 가져가는 경우도 있고, 특정한 비율을 가져가는 경우도 있다. 양을 흡수하는 경우, 어느 정도의 양을 충족시키면 더 이상 양을 가져가는 것이 아닌, 비율로 가져가게 된다. 따라서 우리의 흥미는 양보다는 비율에 놓는 것이 낫다.

매질 속을 진행하는(즉, 반사를 고려하지 않는) 파동이, 길이가 $l$을 통과할 때, 매질은 $(100\times \alpha )$%의 에너지를 흡수한다고 하자.(이런식으로 표현하는 이유는, 퍼센테이지를 쓰는 것보다 0과 1 사이의 값을 쓰는 것이 더 편하기 때문이다.)

그럼 파동이 길이가 $l$인 매질을 이동한 후의 파동의 에너지는 원래의 파동 에너지 $E$에 대해서 $(1-\alpha )E$로 나타난다. 길이가 $2l$이면 $(1-2\alpha )E$가 아니라 $(1-\alpha )^{2}E$으로 나타난다.

따라서 일반적으로 길이가 $x$인 매질을 이동한다면, 파동의 투과율은 $(1-\alpha )^{x/l}$으로 나타난다. 반사는 배제했으므로 투과율과 흡수율의 합은 1이다. 따라서 흡수율을 구할 때는 흡수율 그 자체를 구하는 것보단 투과율 $T$를 구해 $1-T$로 구한다.

또, 과학자나 공학자는 자연로그나 상수로그를 좋아하는데, 우리가 구한 것과 같이 제곱 위에 변수(이번 같은 경우 길이)가 있으면 $e$의 제곱 꼴이나 $10$의 제곱 꼴로 표현할 수 있기 때문이다. 어떤 수 $a$가 있으면 $e^{\ln a}$로 표현할 수 있고, 또 $10^{\log a}$로 표현할 수 있다. 이렇게 표현한 값의 지수를 단위로 사용하는데, 데시벨이 대표적인 경우다.('데시'는 '센티'나 '밀리'와 비슷한, 1/10을 나타내는 SI접두어이므로, 벨이라는 단위의 10배의 값이다.)

이것을 여기에서도 사용하여 매질 속을 진행하는 파동의 투과율 $T$를

$T=e^{\ln(1-\alpha )x/l}=10^{\log(1-\alpha )x/l}$

처럼 표현할 수 있다. 그런데 로그는 안에 들어있는 값이 0보다 크고, 1보다 작으면 로그의 값이 음수이므로, 보기 편하게

$T=e^{-\ln({\frac {1}{1-\alpha }})x/l}=10^{-\log({\frac {1}{1-\alpha }})x/l}$

으로 쓸 수 있다. 이것을 Beer-Lambert 법칙이라고 부른다. 비어-램버트가 아니라 베르-람베르트 법칙이다.(Beer는 독일인이고, Lambert는 프랑스인이다. 사람 성이 맥주일리가 없지 않은가.) 더 깔끔하게 $T=e^{-\tau }=10^{-A}$로 써서 $\tau$나 $A$를 구하는 방식으로 쓰기도 한다.

심화

경계조건

우리는 자연스러움을 위해서 연속성을 도입할 필요가 있다. 우리가 바라보는 자연은 보통은 연속적인데, 이런 것이 두 매질과 같은 계면에서도 연속적이라고 가정할 필요가 있다. 이렇게 연속적임을 가정하고 실제로도 연속적이게 만들기 위해서 물리학자들은 자연스럽게 값을 설정하는데, 이를 경계조건이라고 한다. 수학적(연역)으로는 유일한 해를 찾기 위한 설정이지만, 과학적(귀납)으로는 강하게 뒷받침할만한 근거가 없고, 철학적으로 논의되는, 굉장히 유용하면서 설명은 꺼려하는 개념이다.

경계조건은 (간단하게는) 두 가지에 대해서 논의한다.

• 계면의 물리량의 일치
• 계면의 물리량의 변화의 일치