파동/파동의 수학

주기성

일상 속에서 우리는 규칙성이 있는 여러가지의 것들을 접하곤 한다. 알람 소리, 자동차 엔진소리, 가스불이 바람에 흔들리는 것, 일정한 시간에 맞춰 걷기, 똑같은 간격으로 같은 무늬가 있는 보도블록... 어쩌면 하루 루틴 역시도 규칙성이 있다고 볼 수 있을 것이다. 파동이라고 하는 것은 이런 규칙성에서 시작된다. 파동은 시간과 공간에 대해서 말하지만, 어떤 기준에 대해서 규칙적으로 반복되어 있다는 특징이 있다. 이를 주기성(Periodicity)이라고 한다. 수학적으로 말하면

$y(x)=y(x+T)$

으로 표현되는 것을 주기성이라고 한다. 여기서 $x$는 관심 있는 기준이고, $T$는 그것의 주기이다. $x=0$일 때와 $x=T$일 때는 $y(x)$가 같은 값을 갖고, 어떤 $x$ 값들이 $T$만큼 차이가 난다면 그것의 $y(x)$값 역시 같은 값을 지니는 것이 주기성이다. 물레방아가 돌아가는 것이나, 시계 초침이 1분마다 똑같은 위치로 서는 것도 주기를 가지는 운동이다.

내가 원하는 기준이 하나 더 있다면 자유롭게 더 추가할 수 있다. 그리고 그것도 역시 수학적으로 말할 수 있다. 예를 들어, x와 y가 둘 다 기준이 되어서 x로는 T만큼, y로는 R만큼의 주기를 가지는 물리량을 만든다면,

$f(x,y)=g(x+T)+h(y+R)$

로 표현할 수 있고, 둘이 서로에게 기여하는 물리량을 만든다면,

$f({\frac {x}{T}}+{\frac {y}{R}})=f({\frac {x}{T}}+{\frac {y}{R}}+1)$

로 표현할 수 있다. 더 복잡하게, x와 y가 서로 관련이 있는 경우도 여전히 그 관계가 잘 주어져 있으면 수학적으로 표현이 가능하다.

시간과 공간의 파동

편의성을 위해서 몇 가지를 설정하자. 일단 이런 자유로운 사고와는 다르게, 안타깝게도 파동은 더 작은 범위에서 정의된다. 그것은 바로 시간과 공간에 대해서만 기준이 세워진 주기적인 물리량이다. 그리고 보통 주기성을 가지고 계산하기 편하게 하기 위해서 함수도 삼각함수, 특히 sin이나 cos을 사용한다. 그래서 보통 파동이라 함은 다음 꼴을 예시로 든다.

$y=A\sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\phi \right)$

(여기에 그림을 넣어주세요.)

여기서 A는 진폭으로 이 파동이 얼마나 큰 지를 나타낸다. x와 t는 각각 공간과 시간을 의미하고, $\lambda$는 파장으로 공간적인 주기가 어떻게 되느냐를 나타낸다. 예시에서 값을 넣어보면 알 수 있듯이, $x=\lambda$일 때와 $x=0$일 때는 같다.($x={\frac {\lambda }{2}}$일 때도 같은 값이 나온다고 해서 주기가 ${\frac {\lambda }{2}}$라고 하면 곤란하다.) f는 진동수로 1에서 시간적인 주기를 나눈 값이다. 시간을 나타낼 때는 진동수로 나타내는 경우가 많기 때문에 사용한다. 진동수는 Hz(헤르츠)로 사용하고, bpm이나 rpm을 나타내는 것도 주기가 아니라 진동수다. 이것들을 주기로 나타내면 굉장히 불편함이 많을 것이다. $\phi$는 위상을 나타내는데, 파동을 그려보았을 때, 한 주기 안에 어디서 시작하는지를 나타내는 개념이다. 같은 파동이 위상까지 같으면 시간이나 공간이 달라져도 같은 값을 가진다.

위와 같이 쓰여진 파동의 경우, 공간과 시간에 관한 것이기 때문에, 어디론가 움직이는 물리량이다. 이는 파동이 속도를 가지고 있다는 것을 말한다. 우리는 특히나 파동의 한 부분(위상)이 얼마나 빠르게 지나가는지를 볼 수 있는데, 이를 위상속도라고 한다. 그리고 우리는 이것을 계산할 수 있다. 편의를 위해서 파동이 0이 되는 부분을 하나를 짚고, 그것의 위상을 0이라 하자. 즉 $y=0$이고, $\phi =0$인 상황을 가정하자. 그러면

$0=A\sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft\right)$

이다. 그리고, sin함수에 대해서 이것의 아주 명백한 해인 $\sin(0)=0$을 사용하면

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft$

$2\pi ft={\frac {2\pi x}{\lambda }}$

이다. 그리고 속도 v는 $v=x/t$로 나타나므로, $x/t=f\lambda =v$가 되어 우리는 이 파동의 속도가 $v=f\lambda$임을 알 수 있다.

우리는 지금까지 단색(Monochrome)파의 용어들을 알아보았다.