파동/파동의 수학

기본

주기성

같은 것이 계속 반복되어 있을 때 반복되는 것을 주기성이라고 한다.

일상 속에서 우리는 규칙성이 있는 여러가지의 것들을 접하곤 한다. 알람 소리, 자동차 엔진소리, 가스불이 바람에 흔들리는 것, 일정한 시간에 맞춰 걷기, 똑같은 간격으로 같은 무늬가 있는 보도블록... 어쩌면 하루 루틴 역시도 규칙성이 있다고 볼 수 있을 것이다. 파동이라고 하는 것은 이런 규칙성에서 시작된다. 파동은 시간과 공간에 대해서 말하지만, 어떤 기준에 대해서 규칙적으로 반복되어 있다는 특징이 있다. 이를 주기성(Periodicity)이라고 한다. 수학적으로 말하면

$y(x)=y(x+T)$

으로 표현되는 것을 주기성이라고 한다. 여기서 $x$는 관심 있는 기준이고, $T$는 그것의 주기이다. $x=0$일 때와 $x=T$일 때는 $y(x)$가 같은 값을 갖고, 어떤 $x$ 값들이 $T$만큼 차이가 난다면 그것의 $y(x)$값 역시 같은 값을 지니는 것이 주기성이다. 물레방아가 돌아가는 것이나, 시계 초침이 1분마다 똑같은 위치로 서는 것도 주기를 가지는 운동이다.

내가 원하는 기준이 하나 더 있다면 자유롭게 더 추가할 수 있다. 그리고 그것도 역시 수학적으로 말할 수 있다. 예를 들어, x와 y가 둘 다 기준이 되어서 x로는 T만큼, y로는 R만큼의 주기를 가지는 물리량을 만든다면,

$f(x,y)=g(x+T)+h(y+R)$

로 표현할 수 있고, 둘이 서로에게 기여하는 물리량을 만든다면,

$f({\frac {x}{T}}+{\frac {y}{R}})=f({\frac {x}{T}}+{\frac {y}{R}}+1)$

로 표현할 수 있다. 더 복잡하게, x와 y가 서로 관련이 있는 경우도 여전히 그 관계가 잘 주어져 있으면 수학적으로 표현이 가능하다.

시간과 공간의 파동

편의성을 위해서 몇 가지를 설정하자. 일단 이런 자유로운 사고와는 다르게, 안타깝게도 파동은 더 작은 범위에서 정의된다. 그것은 바로 시간과 공간에 대해서만 기준이 세워진 주기적인 물리량이다. 그리고 보통 주기성을 가지고 계산하기 편하게 하기 위해서 함수도 삼각함수, 특히 sin이나 cos을 사용한다. 그래서 보통 파동이라 함은 다음 꼴을 예시로 든다.

$y=A\sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\phi \right)$

여기서 A는 진폭으로 이 파동이 얼마나 큰 지를 나타낸다. x와 t는 각각 공간과 시간을 의미하고, $\lambda$는 파장으로 공간적인 주기가 어떻게 되느냐를 나타낸다. 예시에서 값을 넣어보면 알 수 있듯이, $x=\lambda$일 때와 $x=0$일 때는 같다.($x={\frac {\lambda }{2}}$일 때도 같은 값이 나온다고 해서 주기가 ${\frac {\lambda }{2}}$라고 하면 곤란하다.) f는 진동수로 1에서 시간적인 주기를 나눈 값이다. 시간을 나타낼 때는 진동수로 나타내는 경우가 많기 때문에 사용한다. 진동수는 Hz(헤르츠)로 사용하고, bpm이나 rpm을 나타내는 것도 주기가 아니라 진동수다. 이것들을 주기로 나타내면 굉장히 불편함이 많을 것이다. $\phi$는 위상을 나타내는데, 파동을 그려보았을 때, 한 주기 안에 어디서 시작하는지를 나타내는 개념이다. 같은 파동이 위상까지 같으면 시간이나 공간이 달라져도 같은 값을 가진다.

위와 같이 쓰여진 파동의 경우, 공간과 시간에 관한 것이기 때문에, 어디론가 움직이는 물리량이다. 이는 파동이 속도를 가지고 있다는 것을 말한다. 우리는 특히나 파동의 한 부분(위상)이 얼마나 빠르게 지나가는지를 볼 수 있는데, 이를 위상속도라고 한다. 그리고 우리는 이것을 계산할 수 있다. 편의를 위해서 파동이 0이 되는 부분을 하나를 짚고, 그것의 위상을 0이라 하자. 즉 $y=0$이고, $\phi =0$인 상황을 가정하자. 그러면

$0=A\sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft\right)$

이다. 그리고, sin함수에 대해서 이것의 아주 명백한 해인 $\sin(0)=0$을 사용하면

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft$

$2\pi ft={\frac {2\pi x}{\lambda }}$

이다. 그리고 속도 v는 $v=x/t$로 나타나므로, $x/t=f\lambda =v$가 되어 우리는 이 파동의 속도가 $v=f\lambda$임을 알 수 있다.

우리는 지금까지 단색(Monochrome)파의 용어들을 알아보았다.

심화

복원력

장 르 롱 달랑베르는 파동을 다음과 같은 방정식으로 나타내었다.

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\nabla ^{2}u$

여기서 $u$는 파동을, $v$는 속도를 나타내고, ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$은 시간에 대한 2차 편미분을 나타낸다. $\nabla ^{2}$는 각각의 좌표의 2차 편미분인 라플라시안을 나타낸다.(편미분에 대한 개념은 미적분학/편미분을 참고하라.) 이를 파동방정식이라고 부른다. 이 사람의 이름을 딴 연산자도 존재하는데, 상대성이론에서 쓰이는 이 연산자는 이 방정식에서 따온 것이다. 1차원의 공간에서 이 방정식을 풀어쓰면

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

이 된다.

이런 방정식이 왜 쓰이는지에 대해서 의문을 가질 수 있다. 이에 대해서 첫 번째로 뉴턴의 운동법칙에 대적하는 근본적인 이론적인 배경이 있었다는 것이 있고, 두 번째로 후대에 푸리에가 정리한 해석학을 통해 별다른 의심 없이도 우리는 이 방정식을 쓸 수 있다는 것이 이 방정식을 뒷받침 해준다. 첫번째는 우리가 아래에서 다룰 것이고, 두 번째는 파동/푸리에 해석에서 다룰 것이다.

달랑베르가 살던 18세기, 그리고 그 다음 세기인 19세기에서 주목할만한 물리학적 토픽 중 하나는 탄성이었다. 이때는 공학과 물리학의 구분이 분명치 않았고, 물리학이 공학에 많은 도움을 받기도 하는 시대였는데, 오일러 나선이나, 영의 모듈러스, 푸아송 비 등 공학에서 사용되는 개념들이 이때 쯤, 물리학자들은 물리학자라고 주장하는 인물들이 만들어냈다.

탄성을 설명하는 중요한 키워드는 복원력이다. 놀이공원의 바이킹이나, 스케이트 보드, 추시계, 슬링키와 같이 모든 것들은 국소적으로 안정적으로 돌아가려는 성질을 가지고 있다. 바이킹이 작동하기 전의 위치에 있는게 가장 안정적일 것이고, 추시계에서는 추가 가장 낮은 곳에 있는 것이 가장 안정적일 것이다. 이런 가장 안정적인 위치를 유지하는 것을 우리는 평형상태라고 부르는데, 복원력은 평형상태에서 벗어나 있는 상태일 때, 안정점으로 돌아가려는 힘을 일컫는다.

이것에 대한 가장 1차적인 근사로써, $y=0$이 안정점인 어떤 상태에 대해서 복원력

$F=-ky$

를 생각해 볼 수 있는데, 이것을 우리는 훅의 법칙(Hook's Law)이라고 부른다. 여기서 $k$는 용수철 상수로, 로버트 훅이 이 법칙을 발견했을 때 사용한 것이 용수철이기 때문이다. 그런데, 뉴턴의 제 2 법칙에 따르면 힘은 $F=ma=m{\ddot {y}}$이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-ky$

이것은 시간에 대한 2차 미분방정식이다. 미분방정식은 굉장히 성가신 녀석이라 어떤 경우 해석적인 해를 구할 수 없는 경우도 있지만, ${\frac {dy}{dt}}=y$ 같이 자신을 미분해서 자기 자신이 나오는 유명한 미분방정식은 자연스럽게 $y=e^{t}$를 떠올릴 수 있으므로 이차미분방정식도 비슷하게 접근할 수 있다.

$e^{t}$보다 좀 더 많은 것을 생각할 수 있는 $Ae^{ct}$에 대해서

${\frac {d}{dt}}(Ae^{ct})=Ace^{ct}$, ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(Ae^{ct})=Ac^{2}e^{ct}$

이므로 $c^{2}=-k/m$이어야 한다. 용수철 상수를 기어이 저렇게 표현하는 것은 훅이 발견한 용수철 상수는 양수이었기 때문이므로, 위 훅의 법칙을 만족하는 $c$는 $c=\pm {\sqrt {-k/m}}=\pm i{\sqrt {k/m}}$여야 한다. 이 값을 자연로그의 밑 $e$에 제곱시키면

$y=Ae^{\pm i{\sqrt {k/m}}\ t}$

가 된다. 허수 제곱이라는 개념이 당혹스러울 수 있겠지만, 저것이 훅의 법칙으로 나오는 해이다.

오일러 공식

허수 제곱, 특히 자연로그의 밑에 대한 허수 제곱은 테일러 급수의 전개를 통해서 정당화 된다. 간단하게, $i\sin t$와 $\cos t$, $e^{it}$에 대해서만 비교해보자. 각각을 테일러 전개를 하면

$i\sin t=i\sin 0+i{\frac {\cos 0}{1!}}t-i{\frac {\sin 0}{2!}}t^{2}-i{\frac {\cos 0}{3!}}t^{3}+i{\frac {\sin 0}{4!}}t^{4}+i{\frac {\cos 0}{5!}}t^{5}-\cdots$

$\ \ \ \ \ \ ={\frac {i}{1!}}t-{\frac {i}{3!}}t^{3}+{\frac {i}{5!}}t^{5}+\cdots$

$\cos t=\cos 0-{\frac {\sin 0}{1!}}t-{\frac {\cos 0}{2!}}t^{2}+{\frac {\sin 0}{3!}}t^{3}+{\frac {\cos 0}{4!}}t^{4}-{\frac {\sin 0}{5!}}t^{5}-\cdots$

$\ \ \ \ \ \ =1-{\frac {1}{2!}}t^{2}+{\frac {1}{4!}}t^{4}+\cdots$

$e^{it}=e^{0}+{\frac {ie^{0}}{1!}}t-{\frac {e^{0}}{2!}}t^{2}-{\frac {ie^{0}}{3!}}t^{3}+{\frac {e^{0}}{4!}}t^{4}+{\frac {ie^{0}}{5!}}t^{5}+\cdots$

$\ \ \ \ \ \ =1+{\frac {i}{1!}}t-{\frac {1}{2!}}t^{2}-{\frac {i}{3!}}t^{3}+{\frac {1}{4!}}t^{4}+{\frac {i}{5!}}t^{5}+\cdots$

으로 $e^{it}=i\sin t+\cos t$임이 도출된다. 이를 오일러 공식이라고 부른다. 따라서, 위에서 얻은 $y=Ae^{\pm i{\sqrt {k/m}}\ t}$는 자연스럽게 $y=iA\sin(\pm {\sqrt {k/m}}\ t)+A\cos(\pm {\sqrt {k/m}}\ t)$임을 알 수 있다. 여기서 허수 항은 물리적인 의미를 지니지 않으므로, ${\mathfrak {R}}(y)=A\cos(\pm {\sqrt {k/m}}\ t)$가 실제로 진동하는 운동이다. 삼각함수는 $2\pi$마다 주기성을 지니므로 $k$가 양수인 ${\sqrt {k/m}}$은 각진동수가 된다. 각진동수를 $\omega$로 표기하여 운동방정식을 간단하게

$y=Ae^{\pm i\omega t}$ 혹은 $y=A\cos(\pm \omega t)$

로 표현할 수 있을 것이다. 운동방정식에서 $A$는 진동의 크기와 위상을 포함한다. 우리가 $A$를 단순한 실수라고 생각하면 진동의 크기만을 표현하기 때문에 진폭이 되나, 복소수를 포함한다면 $A=i+1$인 경우, $A={\sqrt {2}}(i\sin(45^{\circ })+\cos(45^{\circ }))={\sqrt {2}}e^{\pi i/4}$이므로, 위상 정보도 가지게 된다. 여기서의 진폭은 $A$의 실수부 ${\mathfrak {R}}(A)=1$가 아닌 $A$의 크기 $|A|={\sqrt {2}}$가 된다.(오일러의 공식에서 피타고라스의 정리를 사용하면 실수 $c$에 대해 $e^{ci}$의 크기는 항상 1임을 알 수 있다.)

이러한 운동을 단순조화운동(Simple Harmonic Motion, SHM) 혹은 단순조화진동(Simple Harmonic Oscillatioin)이라고 하는데, 이것이 직접적으로 파동을 나타내지는 않지만, 파동을 이해하기 위한 도구들을 보여준다. 다음 챕터에서 매질에 따른 속력 계산과 함께 파동방정식으로 파동을 기술할 것이다.