해석학 개론/부분적분

부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 해석학개론/곱셈법칙에서 유도할 수 있다.

법칙

두 미분가능한 연속 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해서, 적분 구간이 $[a,b]$ 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

$\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

$f(b)g(b)-f(a)g(a)\,$	$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx$
	$=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx$

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\,dx$

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

여기서, $u=f(x),\ v=g(x)$이고, $du=f'(x)dx,\ dv=g'(x)dx$이다.

예제

x cos x의 적분

다음 식을 적분한다.

$\int x\cos x\,dx$

이때, $u=x,\ du=dx,\ dv=\cos x\,dx,\ v=\sin x$와 같이 가정하면

$\int x\cos x\,dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$

가 되어,

$\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx$

$\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C$

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, $C$는 적분 상수이다.

e^x cos x 의 적분

$\int e^{x}\cos x\,dx$

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

$u=\cos x,du=-\sin x\,dx$

$dv=e^{x}dx,\ v=e^{x}$

이때,

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin x\,dx$

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

$u=\sin x\;;\ du=\cos x\,dx$

$v=e^{x}\;;\ dv=e^{x}dx$

그러면,

$\int e^{x}\sin x\,dx$

$=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$

이므로, 함께 적으면,

$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

$2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}(\sin x+\cos x)$

이고, 2로 나눠

$\int e^{x}\cos x\,dx={e^{x}(\sin x+\cos x) \over 2}$

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

ln x 의 적분

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 $x$를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, $\int \ln x\,dx$ 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int (\ln x)\cdot 1\,dx$

다음과 같이 가정하면,

$u=\ln x\;;\ du={\frac {1}{x}}dx$

$v=x\;;\ dv=1\cdot dx$

$\int \ln x\,dx$	$=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx$
	$=x\ln x-\int 1\,dx$

$\int \ln x\,dx=x\ln x-{x}+{C}$

$\int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

arctan x의 적분

두 번째 예는 $\int \arctan x\,dx$이다. 여기서 $\arctan$ 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\int 1\cdot \arctan x\,dx$

다음과 같이 가정하면,

$u=\arctan x\;;\ du={\frac {1}{1+x^{2}}}dx$

$v=x\;;\ dv=1\cdot dx$

$\int \arctan x\,dx$	$=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx$
	$=x\arctan x-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$

임을 확인 할 수 있다.

문제 해결의 전략

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 $u$와 $dv$에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 $u$에 대입한다.

L: 로그 함수 (Logarithmic)

I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)

A: 대수적 함수 (Algebraic)

T: 삼각 함수 (Trigonometric)

E: 지수 함수 (Exponential)

$u$를 대입한 후 남은 함수는 $dv$에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.