대학수학능력시험 예비평가/2022학년도/수학 영역

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2022학년도 대학수학능력시험 예비평가 수학 영역

2022학년도 대학수학능력시험 예비평가 수학 영역은 2020년 5월 29일에 시행된 2022학년도 대학수학능력시험 예비평가에서 2교시에 진행된 시험 영역이다.

개요

2022학년도 대학수학능력시험 예비평가 수학 영역 개요

개요	시행일	시각	교시	시간	문항수	만점
	2020년 5월 29일	10:30 ~ 12:10	2	100분	30	100
출제 기관	한국교육과정평가원
교육 과정	대한민국 2015 개정 교육과정
응시 과목	수학Ⅰ, 수학Ⅱ		확률과 통계
			미적분
			기하
성적 산출	예시문항 공개 방식으로 진행되어 성적 산출 없음

정답

2022학년도 대학수학능력시험 예비평가 수학 영역 정답

공통 과목						선택 과목
						확률과 통계			미적분			기하
문항	홀수형	배점	문항	홀수형	배점	문항	홀수형	배점	문항	홀수형	배점	문항	홀수형	배점
1	⑤	2	12	②	4	23	①	2	23	④	2	23	①	2
2	②	2	13	⑤	4	24	⑤	3	24	③	3	24	④	3
3	③	3	14	④	4	25	②	3	25	②	3	25	②	3
4	④	3	15	③	4	26	④	3	26	⑤	3	26	⑤	3
5	④	3	16	21	3	27	⑤	3	27	①	3	27	④	3
6	①	3	17	10	3	28	③	4	28	③	4	28	⑤	4
7	④	3	18	56	3	29	332	4	29	12	4	29	6	4
8	③	3	19	7	3	30	71	4	30	5	4	30	9	4
9	②	4	20	25	4
10	①	4	21	26	4
11	②	4	22	14	4

문항별 분석

1번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	⑤	2점

${3^{{\sqrt {5}}+1} \over 3^{{\sqrt {5}}-1}}=3^{\left({\sqrt {5}}+1\right)-\left({\sqrt {5}}-1\right)}=3^{2}=9$

2번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	②	2점

$\int _{-1}^{1}\left(x^{3}+a\right)\,dx=\int _{-1}^{1}x^{3}\,dx+\int _{-1}^{1}a\,dx=\int _{-1}^{1}a\,dx=4$

$\left[\,ax\,\right]_{-1}^{1}=2a=4$

$\therefore a=2$

3번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	③	3점

함수 $y=2^{x}$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동한 그래프의 함수는 $y=2^{x}+m$이므로, 이 함수에 $(-1.2)$를 대입하여 정리하면 다음과 같다.

$2=2^{-1}+m$

$m=2-2^{-1}={3 \over 2}$

4번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	④	3점

$\lim _{x\to 0-}f(x)-\lim _{x\to 1+}f(x)=2-1=1$

5번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	④	3점

${\pi \over 2}<\theta <\pi$이므로, $\sin \theta -\cos \theta >0$이다.

$\left(\sin \theta -\cos \theta \right)^{2}=\sin ^{2}\theta -2\sin \theta \cos \theta +\cos ^{2}\theta =1-2\times \left(-{12 \over 25}\right)={49 \over 25}$

$\therefore \sin \theta -\cos \theta ={7 \over 5}$

6번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	①	3점

$\int f'(x)\,dx=f(x)=x^{3}-{k \over 2}x^{2}+x+C$ ($C$는 적분상수)

$f(0)=1$이므로, $C=1$이다. 따라서 $f(x)=x^{3}-{k \over 2}x^{2}+x+1$이다.

$f(2)=8-2k+2+1=1$

$\therefore k=5$

7번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	④	3점

$\left|f(x)\right|={\begin{cases}\left|x-4\right|&\left(x<a\right)\\\left|x+3\right|&\left(x\geq a\right)\end{cases}}$

이므로, $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면, 함수 $y=\left|x-4\right|$의 그래프와 함수 $y=\left|x+3\right|$의 그래프가 $x=a$에서 서로 만나야 한다. 두 함수의 그래프가 $x=a$에서 만나므로, $a$의 범위는 $-3<a<4$이다.

$\lim _{x\to a-}f(x)=\lim _{x\to a+}f(x)$

$-a+4=a+3$

$\therefore a={1 \over 2}$

8번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	③	3점

함수 $y=6\sin {\pi \over 12}$ ($0\leq x\leq 12$)에서 $y=3$일 때 $x=2,x=10$이므로, 점$A(2,3)$과 점$B(10,3)$의 거리는 8이다.

$\therefore {\overline {AB}}=8$

9번

	정답	배점	정답률	①	②	③	④	⑤	비고
홀수형	②	4점

$y'=-3x^{2}-2x+1$이므로, 곡선 $y=-x^{3}-x^{2}+x$ 위의 한 점 $\left(t,-t^{3}-t^{2}+t\right)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$y=\left(-3t^{2}-2t+1\right)\left(x-t\right)-t^{3}-t^{2}+t$

이 접선은 원점을 지나므로, 접선의 방정식에 $x=0,y=0$을 대입하여 $t$의 값을 계산할 수 있다.

$0=\left(-3t^{2}-2t+1\right)\left(0-t\right)-t^{3}-t^{2}+t$

$3t^{3}+2t^{2}-t-t^{3}-t^{2}+t=2t^{3}+t^{2}=t^{2}\left(2t+1\right)=0$

$\therefore t=-{{1} \over {2}}\lor t=0$

$\left(t,-t^{3}-t^{2}+t\right)$에서의 접선의 기울기는 $-3t^{2}-2t+1$이므로, $t=-{{1} \over {2}}$일 때 접선의 기울기는 $5 \over 4$이고, $t=0$일 때 접선의 기울기는 $1$이다.

따라서 구하고자 하는 모든 접선의 기울기의 합은 ${5 \over 4}+1={9 \over 4}$이다.

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