미분과 적분/함수의 극한

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함수의 극한[+/-]

  1. 함수 에 대하여 와 다른 값을 가지면서 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 함수 에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다. 이때 일 때의 함수 의 극한값 또는 극한이라고 한다.
  2. 특히 함수 는 상수는 모든 실수 에 대하여 함수 에 대한 의 함숫값이 항상 이므로 의 값에 관계없이 이다.
  3. 함수 에 대한 의 함숫값 가 존재하면 함수 에서 정의되어 있다고 한다.
  4. 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 한없이 커지면 함숫값 는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
  5. 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함숫값 는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
  6. 함수 에 대하여 가 한없이 커질 때 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 또는 일 때, 와 같이 나타낸다.
  7. 함숫값 가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.

우극한과 좌극한[+/-]

  1. 보다 큰 값을 가지면서 에 한없이 가까워지는 것을 과 같이 나타내고, 보다 작은 값을 가지면서 에 한없이 가까워지는 것을 과 같이 나타낸다.
  2. 특히 으로, 으로 나타낸다.
  3. 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 일 때의 함수 의 우극한 또는 우극한값이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
  4. 함수 에 대하여 일 때, 함숫값 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 일 때의 함수 의 좌극한 또는 좌극한값이라 하고, 이것을 기호로 와 같이 나타낸다.
  5. 일 때, 함수 의 극한값이 라는 것은 일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두 와 같음을 뜻한다. 즉,
  6. 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉 이면 극한값 는 존재하지 않는다.

함수의 극한에 대한 성질[+/-]

일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다. 단, , 는 실수

  1. (단, 는 상수)
  2. (단, , )
  • 함수의 극한에 대한 성질은 일 때에도 성립함이 알려져 있다.
  • 분수함수의 극한에서 는 실수일 때,
  • 특히, 분수함수의 극한에서 일 때,

함수의 극한의 대소 관계[+/-]

에 가까운 모든 값 에 대하여 다음 대소 관계 1, 2가 성립한다.

  1. 이고, 이면
  2. 이고, 이면