- 함수
에 대하여
가
와 다른 값을 가지면서
에 한없이 가까워질 때, 함숫값
가 일정한 값
에 한없이 가까워지면 함수
는
에 수렴한다고 하고, 이것을 기호로
또는
일 때,
와 같이 나타낸다. 이때
를
일 때의 함수
의 극한값 또는 극한이라고 한다.
- 특히 함수
는 상수
는 모든 실수
에 대하여 함수
에 대한
의 함숫값이 항상
이므로
의 값에 관계없이
이다.
- 함수
에 대한
의 함숫값
가 존재하면 함수
가
에서 정의되어 있다고 한다.
- 함수
에 대하여
일 때, 함숫값
가 한없이 커지면 함숫값
는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로
또는
일 때,
와 같이 나타낸다.
- 함수
에 대하여
일 때, 함숫값
가 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 함숫값
는 음의 무한대로 발산한다고 하고, 이것을 기호로
또는
일 때,
와 같이 나타낸다.
- 함수
에 대하여
가 한없이 커질 때 함숫값
가 일정한 값
에 한없이 가까워지는 것을 기호로
또는
일 때,
와 같이 나타낸다.
- 함숫값
가 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때에도 각각 다음과 같은 기호를 사용하여 나타낸다.
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734cf2d89df5b9c8b666fb62230a95c9efb0b43a)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty ,\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aabb2e7be1771b1e8cd7219e178dda32fcfdddd)
가
보다 큰 값을 가지면서
에 한없이 가까워지는 것을
과 같이 나타내고,
가
보다 작은 값을 가지면서
에 한없이 가까워지는 것을
과 같이 나타낸다.
- 특히
은
으로,
은
으로 나타낸다.
- 함수
에 대하여
일 때, 함숫값
가 일정한 값
에 한없이 가까워지면
를
일 때의 함수
의 우극한 또는 우극한값이라 하고, 이것을 기호로
와 같이 나타낸다.
- 함수
에 대하여
일 때, 함숫값
가 일정한 값
에 한없이 가까워지면
를
일 때의 함수
의 좌극한 또는 좌극한값이라 하고, 이것을 기호로
와 같이 나타낸다.
일 때, 함수
의 극한값이
라는 것은
일 때의 우극한값과 좌극한값이 존재하고, 그 값이 모두
와 같음을 뜻한다. 즉, ![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\alpha \iff \lim _{x\to a+0}f(x)=\lim _{x\to a+0}f(x)=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e706c42610eadcec7605c1804aaa32b922bb313a)
- 우극한과 좌극한이 모두 존재하더라도 그 값이 서로 같지 않으면, 즉
이면 극한값
는 존재하지 않는다.
일 때, 다음 성질 1~5가 성립한다.
단,
,
는 실수
(단,
는 상수)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)=\alpha +\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d63ca2b68044073eb34b95f7f62dea611542ab2)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}\{f(x)-g(x)\}=\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)=\alpha -\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73d0c9b14e0f411ae368e77b89d00e2c5595d23)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)g(x)=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}g(x)=\alpha \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcfd9c862afd259280ae2eccfe665a494d33904)
(단,
,
)
- 함수의 극한에 대한 성질은
일 때에도 성립함이 알려져 있다.
- 분수함수의 극한에서
는 실수
일 때, ![{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0\Rightarrow \lim _{x\to a}f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce2d510ce6cda902b4164695e23dbed517d6cde)
- 특히, 분수함수의 극한에서
일 때, ![{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=0\iff \lim _{x\to a}f(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4acc8796b70326599452e60d2b2f280226097f)
에 가까운 모든 값
에 대하여 다음 대소 관계 1, 2가 성립한다.
이고,
이면 ![{\displaystyle \alpha \leq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f69d89ecf7ee692d15f27bef8169ec175f08024)
이고,
이면 ![{\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813fe218ea37765c3111a5e841c0f4ff2a28cea7)