대각화, 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)를 논의 하기 전에, 어떤 모티브가 있었는지 봅시다.
예시 (대각행렬의 거듭제곱 공식)
D
=
(
3
0
0
−
5
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}}
(
3
0
0
−
5
)
(
3
k
0
0
(
−
5
)
k
)
=
(
3
k
+
1
0
0
(
−
5
)
k
+
1
)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3^{k}&0\\0&(-5)^{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3^{k+1}&0\\0&(-5)^{k+1}\end{pmatrix}},}
n
{\displaystyle n}
D
=
(
3
n
0
0
(
−
5
)
n
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}}
예시
P
=
(
1
1
2
3
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&1\\2&3\\\end{pmatrix}}}
D
=
(
3
0
0
−
5
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}3&0\\0&-5\end{pmatrix}}}
P
−
1
=
(
3
−
1
−
2
1
)
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\\\end{pmatrix}}}
행렬
A
{\displaystyle A}
A
=
P
D
P
−
1
=
(
19
−
8
48
−
21
)
{\displaystyle A=PDP^{-1}={\begin{pmatrix}19&-8\\48&-21\\\end{pmatrix}}}
A
n
=
(
P
D
P
−
1
)
n
=
(
P
D
P
−
1
)
(
P
D
P
−
1
)
⋯
(
P
D
P
−
1
)
(
P
D
P
−
1
)
⏟
n
P
D
P
−
1
's
=
P
D
(
P
−
1
P
⏟
I
)
D
P
−
1
⋯
P
D
(
P
−
1
P
⏟
I
)
D
P
−
1
=
P
D
I
D
⋯
I
D
⏟
n
−
1
I
D
's
P
−
1
=
P
D
D
⋯
D
⏟
n
D
's
P
−
1
=
P
D
n
P
−
1
=
P
(
3
n
0
0
(
−
5
)
n
)
P
−
1
(위 의 예 시 )
=
(
1
1
2
3
)
(
3
n
0
0
(
−
5
)
n
)
(
3
−
1
−
2
1
)
=
(
3
n
+
1
−
2
(
−
5
)
n
(
−
5
)
n
−
3
n
6
(
3
n
)
−
6
(
−
5
)
n
3
(
−
5
)
n
−
2
(
3
n
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(PDP^{-1})^{n}=\underbrace {(PD{\color {blue}P^{-1}})({\color {blue}P}DP^{-1})\cdots (PD{\color {brown}P^{-1}})({\color {brown}P}DP^{-1})} _{n\;PDP^{-1}{\text{'s}}}\\&=PD(\underbrace {\color {blue}P^{-1}P} _{\color {blue}I})DP^{-1}\cdots PD(\underbrace {\color {brown}P^{-1}P} _{\color {brown}I})DP^{-1}\\&=PD\underbrace {{\color {blue}I}D\cdots {\color {brown}I}D} _{n-1\;ID{\text{'s}}}P^{-1}\\&=P\underbrace {DD\cdots D} _{n\;D{\text{'s}}}P^{-1}\\&=PD^{n}P^{-1}\\&=P{\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}P^{-1}\qquad {\text{(위 의 예 시 )}}\\&={\begin{pmatrix}1&1\\2&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3^{n}&0\\0&(-5)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}3^{n+1}-2(-5)^{n}&(-5)^{n}-3^{n}\\6(3^{n})-6(-5)^{n}&3(-5)^{n}-2(3^{n})\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
우리는 가역행렬
P
{\displaystyle P}
D
{\displaystyle D}
P
D
P
−
1
{\displaystyle PDP^{-1}}
당연하게도, 이렇게 편한 도구가 주어졌으니, 주어진 행렬이
P
D
P
−
1
{\displaystyle PDP^{-1}}
P
{\displaystyle P}
D
{\displaystyle D}
이 챕터의 주요 목표가 바로 그것입니다.
모티브에서의 관점으로 다음 정의를 얻을 수 있습니다.
정의 5.1 (대각화 가능 행렬)
정사각행렬
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
P
−
1
A
P
{\displaystyle P^{-1}AP}
참고
동치인 조건은 모티브에서 보았던 꼴인 어떤 대각행렬
D
{\displaystyle D}
P
{\displaystyle P}
A
=
P
D
P
−
1
{\displaystyle A=PDP^{-1}}
예시
항등행렬
I
n
{\displaystyle I_{n}}
P
=
I
n
{\displaystyle P=I_{n}}
P
−
1
I
n
P
{\displaystyle P^{-1}I_{n}P}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
P
=
I
n
,
D
=
I
n
{\displaystyle P=I_{n},D=I_{n}}
I
n
=
P
D
P
−
1
{\displaystyle I_{n}=PDP^{-1}}
틀:예제
다음 내용은 어느 부분에서는 대각가능성과 관련된 아주 중요하고 일반적인 개념입니다.
정의 5.2. (고유벡터와 고유값)
A
{\displaystyle A}
0
{\displaystyle 0}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
λ
{\displaystyle \lambda }
A
v
=
λ
v
{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
A
{\displaystyle A}
λ
{\displaystyle \lambda }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
A
{\displaystyle A}
참고
A
v
=
λ
v
{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
A
{\displaystyle A}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
eigen- 라는 접두어는 '특징적인', '소유의', '고유한'을 나타내는 독일어다.
예시 (항등행렬의 고유벡터)
각각의 벡터
v
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}
I
n
v
=
v
=
1
⋅
v
{\displaystyle I_{n}\mathbf {v} =\mathbf {v} =1\cdot \mathbf {v} }
v
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
1
{\displaystyle 1}
틀:Colored exercise
다음 정리는 대각화 가능 행렬에 고유벡터와 고유값과 관련이 있다.
정리 (대각화)
A
{\displaystyle A}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
A
{\displaystyle A}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
P
{\displaystyle P}
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
D
{\displaystyle D}
A
=
P
D
P
−
1
{\displaystyle A=PDP^{-1}}
이 증명에서,
(
v
1
⋯
v
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
A
=
P
D
P
−
1
⇔
A
P
=
P
D
P
P
−
1
⏟
I
⇔
A
(
v
1
⋯
v
n
)
=
(
v
1
⋯
v
n
)
(
λ
1
0
⋯
0
0
λ
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
λ
n
)
⇔
(
A
v
1
⋯
A
v
n
)
=
(
λ
1
v
1
⋯
λ
n
v
n
)
⇔
A
v
1
=
λ
1
v
1
,
…
,
A
v
n
=
λ
n
v
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&&A&=PDP^{-1}\\&\Leftrightarrow &AP&=PD\underbrace {PP^{-1}} _{I}\\&\Leftrightarrow &A{\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}\\&\Leftrightarrow &{\begin{pmatrix}A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{pmatrix}}\\&\Leftrightarrow &A\mathbf {v} _{1}&=\lambda _{1}\mathbf {v} _{1},\ldots ,A\mathbf {v} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.\end{aligned}}}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
P
{\displaystyle P}
틀:증명끝
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