선형대수학 입문/고유값과 고유벡터

모티브

대각화, 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)를 논의 하기 전에, 어떤 모티브가 있었는지 봅시다.

예시 (대각행렬의 거듭제곱 공식)

$D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -5\end{array}\right)$를 생각하자. $$\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^k& 0\\ 0& (-5{)}^k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{3}^{k+1}& 0\\ 0& (-5{)}^{k+1}\end{array}\right),$$ 이므로, 각각의 양의 정수 $n$에 대해서 $D=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& (-5{)}^n\end{array}\right)$이라는 대각행렬의 거듭제곱 공식을 귀납법으로 증명할 수 있다.

예시

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, $D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -5\end{array}\right)$라고 하자. 여기서 $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)$임을 계산할 수 있다.

행렬 $A$를 $A=PD{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}19& -8\\ 48& -21\end{array}\right)$라고 하자. 그러면 $$\begin{array}{cc}{A}^n& =(PD{P}^{-1}{)}^n=\underset{nPD{P}^{-1}\text{'s}}{\underbrace{(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})\cdots (PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})}}\\ & =PD(\underset{I}{\underbrace{P^{-1}P}})D{P}^{-1}\cdots PD(\underset{I}{\underbrace{P^{-1}P}})D{P}^{-1}\\ & =PD\underset{n-1ID\text{'s}}{\underbrace{ID\cdots ID}}{P}^{-1}\\ & =P\underset{nD\text{'s}}{\underbrace{DD\cdots D}}{P}^{-1}\\ & =P{D}^n{P}^{-1}\\ & =P\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& (-5{)}^n\end{array}\right)P^{-1}\text{(위 의 예 시 )}\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ 0& (-5{)}^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{3}^{n+1}-2(-5{)}^n& (-5{)}^n-3^n\\ 6(3^n)-6(-5{)}^n& 3(-5{)}^n-2(3^n)\end{array}\right)\end{array}$$

우리는 가역행렬 $P$와 대각행렬 $D$의 곱인 $PD{P}^{-1}$라는 조금 특수한 행렬에 대한 예시를 통해서 거듭제곱이 편리하게 계산될 수 있음을 보았습니다.

당연하게도, 이렇게 편한 도구가 주어졌으니, 주어진 행렬이 $PD{P}^{-1}$로 표현될 수 있는지, 그리고 그게 가능하다면 $P$와 $D$가 무엇인지 알고 싶을 것입니다.

이 챕터의 주요 목표가 바로 그것입니다.

고유값, 고유벡터 그리고 대각화

모티브에서의 관점으로 다음 정의를 얻을 수 있습니다.

정의 5.1 (대각화 가능 행렬)

정사각행렬 $A$는 가역행렬이 $P$가 존재하여 $P^{-1}AP$가 대각행렬이면 대각화 가능하다.

참고

동치인 조건은 모티브에서 보았던 꼴인 어떤 대각행렬 $D$와 가역행렬 $P$에 대해서 $A=PD{P}^{-1}$를 만족하는 것이다. 따라서 행렬이 대각화 가능하다면, 우리는 그 행렬의 거듭제곱도 편하게 계산할 수 있다.

예시

항등행렬 $I_n$는 $P=I_n$가 존재해 $P^{-1}{I}_{n}P$가 대각행렬($I_n$)이므로 대각화가능하다. 또, $P=I_n,D=I_n$가 존재하여 $I_n=PD{P}^{-1}$를 이룬다.

틀:예제 다음 내용은 어느 부분에서는 대각가능성과 관련된 아주 중요하고 일반적인 개념입니다.

정의 5.2. (고유벡터와 고유값)

$A$를 정사각행렬이라고 하자. $0$이 아닌 벡터 $𝐯$에 대해서 어떤 스칼라 $\lambda$가 존재하여 $A𝐯=\lambda 𝐯$가 성립하면 $𝐯$를 $A$의 고유벡터라고 한다. 그리고 $\lambda$는 $𝐯$에 대응하는 $A$의 고유값이라고 한다.

참고

• $A𝐯=\lambda 𝐯$는 벡터 $𝐯$와 행렬 $A$의 곱이 벡터 $𝐯$와 스칼라의 곱과 같다는 것을 의미한다.(벡터 scaling)
• eigen-라는 접두어는 '특징적인', '소유의', '고유한'을 나타내는 독일어다.

예시 (항등행렬의 고유벡터)

각각의 벡터 $𝐯\in {ℝ}^n$에 대해서 $$I_n𝐯=𝐯=1\cdot 𝐯$$ 이므로, 각각의 벡터 $𝐯\in {ℝ}^n$는 $I_n$의 고유벡터이고, 이것들에 대응되는 고유값은 모두 $1$이다.

틀:Colored exercise 다음 정리는 대각화 가능 행렬에 고유벡터와 고유값과 관련이 있다.

정리 (대각화)

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하자. 따라서 오로지 $A$가 has $n$ 개의 선형독립 고유벡터를 가지고 있을 때만 $A$는 대각화가능하다. ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$가 고유값 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$(고유값은 같을 수 있다.)에 대응되는 $A$의 선형독립 고유벡터이면, 우리는 각각의 열이 ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$인 가역행렬 $P$와 대각성분이 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$인 대각행렬 $D$를 정의하여 $$A=PD{P}^{-1}$$ 얻을 수 있다.

증명:

이 증명에서, $\left(\begin{array}{ccc}{𝐯}_1& \cdots & {𝐯}_n\end{array}\right)$를 각각의 열을 ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$로 삼는 행렬으로 표기할 것이다. $$\begin{array}{cccc}& & A& =PD{P}^{-1}\\ & \iff & AP& =PD\underset{I}{\underbrace{P{P}^{-1}}}\\ & \iff & A\left(\begin{array}{ccc}{𝐯}_1& \cdots & {𝐯}_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}{𝐯}_1& \cdots & {𝐯}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{ccc}A{𝐯}_1& \cdots & A{𝐯}_n\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1{𝐯}_1& \cdots & {\lambda }_n{𝐯}_n\end{array}\right)\\ & \iff & A{𝐯}_1& ={\lambda }_1{𝐯}_1,\dots ,A{𝐯}_n={\lambda }_n{𝐯}_n.\end{array}$$ 우리는 ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$가 고유벡터임을 증명했다. 이제 가역성과 선형독립 간의 관계의 명제에 의해 $P$가 가역행렬이려면 오로지 이 벡터들이 선형독립이어야 되기 때문에 벡터들이 선형독립임을 증명하는 것이 남아있다. 틀:증명끝

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