먼저, 행 벡터와 열 벡터를 구분하지 말고 벡터를 정의합시다:
정의 4.1. 벡터(실벡터)
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
v
=
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
참고
차원에 대해서는 나중에 정의할 것이다.
벡터를 표현할 때는 볼드체 로 쓸 것이다.
v
→
,
v
_
,
v
⇀
{\displaystyle {\vec {v}},{\underline {v}},{\overset {\rightharpoonup }{v}}}
0
{\displaystyle \mathbf {0} }
0
{\displaystyle 0}
성분
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
{\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
표준기저벡터는 벡터의 특별한 경우다.
정의 (표준기저벡터)
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle j\in \{1,\ldots ,n\}}
j
{\displaystyle j}
참고
표준벡터라는 단어보다 표준기저라는 말이 더 자주 쓰인다.
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}}
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
e
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}}
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}}
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}}
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
예시
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
e
3
=
(
0
,
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}=(0,0,1,0)}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
i
=
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {i} =(1,0,0)}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
i
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {i} =(1,0)}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
위에서는 순서쌍을 통해 벡터를 정의했지만, 행렬은 행과 열로 나누어지기 때문에 선형대수학에서는 가끔씩 행 벡터와 열 벡터를 구분할 필요가 있습니다. 이들의 정의는 다음과 같습니다:
정의 4.2. (행 벡터와 열 벡터)
행 벡터는
1
×
n
{\displaystyle 1\times n}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
참고
행 벡터보다 열 벡터를 좀 더 선호한다.
이렇게 정의하기 때문에 벡터 연산에 대응되는 행렬의 덧셈과 스칼라 곱셈을 적용시킬 수 있다.
예시
(
1
2
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}}
(
1
2
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}}
참고
가로쓰기에서 열 벡터를 예시처럼 쓰는 건 공간 낭비이므로
(
v
1
⋯
v
n
)
T
{\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}^{T}}
좀 더 아끼기 위해서 성분 간에 공백을 두지 않고, 순서쌍으로 표현해
(
v
1
,
…
,
v
n
)
T
{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}}
반면에 열과 행을 구분하지 않는 벡터와 쓰는게 겹치는 것을 피하기 위해서 이 책에서는 행 벡터를
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}
덧셈과 스칼라 곱셉은 벡터연산의 기본적인 두 가지 연산입니다.
두 개의 연산만을 사용해서 다음의 정의를 따라 우리는 수많은 벡터를 조합할 수 있습니다.
정의 4.3. (선형결합)
벡터
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{n}}
v
1
,
…
,
v
k
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}}
c
1
,
…
,
c
k
{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k}}
v
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}
v
=
c
1
v
1
+
⋯
+
c
k
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}}
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}
예시
벡터
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle (3,4,5)^{T}}
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T}}
(
2
,
3
,
4
)
T
{\displaystyle (2,3,4)^{T}}
(
3
,
4
,
6
)
T
{\displaystyle (3,4,6)^{T}}
(
3
,
4
,
5
)
T
=
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
2
,
3
,
4
)
T
⟺
{
a
+
2
b
=
3
2
a
+
3
b
=
4
3
a
+
4
b
=
5
{\displaystyle (3,4,5)^{T}=a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}\iff {\begin{cases}a+2b=3\\2a+3b=4\\3a+4b=5\\\end{cases}}}
(
1
2
3
2
3
4
3
4
5
)
→
−
2
r
1
+
r
2
→
r
2
−
3
r
1
+
r
3
→
r
3
(
1
2
3
0
−
1
−
2
0
−
2
−
4
)
→
−
r
2
→
r
2
(
1
2
3
0
1
2
0
−
2
−
4
)
→
2
r
2
+
r
3
→
r
3
−
2
r
2
+
r
1
→
r
1
(
1
0
−
1
0
1
2
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\\\end{pmatrix}}{\overset {-3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-4\\\end{pmatrix}}{\overset {-\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&-2&-4\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}
(
a
,
b
)
=
(
−
1
,
2
)
{\displaystyle (a,b)=(-1,2)}
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle (3,4,5)^{T}}
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T}}
(
2
,
3
,
4
)
T
{\displaystyle (2,3,4)^{T}}
반면에
(
3
,
4
,
6
)
T
=
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
2
,
3
,
4
)
T
⟺
{
a
+
2
b
=
3
2
a
+
3
b
=
4
3
a
+
4
b
=
6
{\displaystyle (3,4,6)^{T}=a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}\iff {\begin{cases}a+2b=3\\2a+3b=4\\3a+4b=6\\\end{cases}}}
(
1
2
3
2
3
4
3
4
6
)
→
−
2
r
1
+
r
2
→
r
2
−
3
r
1
+
r
3
→
r
3
(
1
2
3
0
−
1
−
2
0
−
2
−
3
)
→
−
r
2
→
r
2
(
1
2
3
0
1
2
0
−
2
−
3
)
→
2
r
2
+
r
3
→
r
3
−
2
r
2
+
r
1
→
r
1
(
1
0
−
1
0
1
2
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&6\\\end{pmatrix}}{\overset {-3\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-1&-2\\0&-2&-3\\\end{pmatrix}}{\overset {-\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&-2&-3\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\overset {2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{\to }}}{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}
(
3
,
4
,
6
)
T
{\displaystyle (3,4,6)^{T}}
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T}}
(
2
,
3
,
4
)
T
{\displaystyle (2,3,4)^{T}}
틀:예제
선형결합과 밀접하게 연관되어 있는 또다른 개념으로 span이 있습니다. [ 1]
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
정의 4.4. (Span)
S
=
{
v
1
,
…
,
v
k
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
span
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {span} (S)}
S
{\displaystyle S}
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}
참고
이는
span
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {span} (S)}
이는
span
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {span} (S)}
S
{\displaystyle S}
벡터(들)의 span 대신에 어떤 벡터(들)을 포함하는 집합의 span을 쓸 수 있다.
예시
집합
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
}
{\displaystyle \{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}}
{
(
a
+
2
b
,
2
a
+
3
b
,
3
a
+
4
b
)
T
:
a
,
b
∈
R
}
{\displaystyle \{(a+2b,2a+3b,3a+4b)^{T}:a,b\in \mathbb {R} \}}
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T}}
(
2
,
3
,
4
)
T
{\displaystyle (2,3,4)^{T}}
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
2
,
3
,
4
)
T
=
(
a
+
2
b
,
2
a
+
3
b
,
3
a
+
4
b
)
T
{\displaystyle a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}=(a+2b,2a+3b,3a+4b)^{T}}
기하학적으로 이 span은
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
집합
{
(
1
,
1
)
T
}
{\displaystyle \{(1,1)^{T}\}}
{
(
a
,
a
)
T
:
a
∈
R
}
{\displaystyle \{(a,a)^{T}:a\in \mathbb {R} \}}
(
1
,
1
)
T
{\displaystyle (1,1)^{T}}
a
(
1
,
1
)
T
=
(
a
,
a
)
T
{\displaystyle a(1,1)^{T}=(a,a)^{T}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
틀:예제
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
정의 4.5. (선형독립, 선형종속)
S
=
{
v
1
,
…
,
v
k
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
c
1
v
1
+
⋯
+
c
k
v
k
=
0
{\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} }
0
{\displaystyle 0}
c
1
,
…
,
c
k
{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
참고
(용어) 그 벡터들을 가지고 있는 집합은 선형독립 혹은 선형종속이라는 표현 대신에 벡터
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}
벡터들이 선형독립이면 식에서
c
1
,
…
,
c
k
{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k}}
0
{\displaystyle 0}
동등하게, 벡터들이 선형독립이면 '
c
1
v
1
+
⋯
+
c
k
v
k
=
0
{\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} }
c
1
=
⋯
=
c
k
=
0
{\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{k}=0}
이것이 좀 더 흔하게 쓰이는 선형 독립을 쓰는 방법이다.
이제, 우리는 선형종속의 직관적인 결과에 대해서 말할 수 있을 것 같습니다. 왜 '선형종속' 같은 말을 쓰는지를 잘 설명해주는 결과에 대해서 말이죠.
명제 (선형종속인 것과 동등한 조건)
벡터
v
1
,
⋯
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\cdots ,\mathbf {v} _{k}}
증명
선형종속이면 선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다: 일반적인 경우를 유지하기 위해
c
1
≠
0
{\displaystyle c_{1}\neq 0}
c
1
v
1
+
⋯
+
c
k
v
k
{\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{k}\mathbf {v} _{k}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
그러면,
v
1
=
−
c
2
c
1
v
2
−
⋯
−
c
k
c
1
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=-{\frac {c_{2}}{c_{1}}}\mathbf {v} _{2}-\cdots -{\frac {c_{k}}{c_{1}}}\mathbf {v} _{k}}
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
선형결합으로 한 벡터를 표현할 수 있다면 선형종속이다: 일반적인 경우를 유지하기 위해,
v
1
=
b
2
v
2
+
⋯
+
b
k
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=b_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k}}
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
그러면,
v
1
−
b
2
v
2
−
⋯
−
b
k
v
k
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}-b_{2}\mathbf {v} _{2}-\cdots -b_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} }
v
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}}
0
{\displaystyle 0}
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}
참고
이것이 모든 벡터가 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 것이 아니다.
벡터들이 '선형종속'이라는 것은, 직관적으로 선형적인 의미와 관련이 있다고 생각할 수 있는데, 한 벡터가 다른 벡터들에 의존(선형결합)할 수 있기 때문에 이는 사실이다. 즉, 다른 벡터들과의 관계가 존재한다는 것이다.
예시
벡터
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
,
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T},(3,4,5)^{T}}
방정식
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
2
,
3
,
4
)
T
+
c
(
3
,
4
,
5
)
T
=
(
0
,
0
,
0
)
T
{\displaystyle a(1,2,3)^{T}+b(2,3,4)^{T}+c(3,4,5)^{T}=(0,0,0)^{T}}
|
1
2
3
2
3
4
3
4
5
|
=
1
(
3
)
(
5
)
+
2
(
4
)
(
3
)
+
3
(
2
)
(
4
)
−
3
(
3
)
(
3
)
−
2
(
2
)
(
5
)
−
4
(
4
)
(
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\\\end{vmatrix}}=1(3)(5)+2(4)(3)+3(2)(4)-3(3)(3)-2(2)(5)-4(4)(1)=0}
이므로 계수행렬은 비가역적이다.
따라서, 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 homogeneous한 선형 연립방정식은 비자명한 해를 가진다. 즉, 방정식을 만족하는 모든 성분이
0
{\displaystyle 0}
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
이제, 선형독립인 벡터들의 명제를 소개하겠습니다.
명제 (선형독립인 벡터들의 계수 비교)
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}
a
1
v
1
+
⋯
+
a
k
v
k
=
b
1
v
1
+
⋯
+
b
k
v
k
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k}}
(
a
1
,
…
,
a
k
)
=
(
b
1
,
…
,
b
k
)
{\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})=(b_{1},\ldots ,b_{k})}
증명
a
1
v
1
+
⋯
+
a
k
v
k
=
b
1
v
1
+
⋯
+
b
k
v
k
,
⇔
(
a
1
−
b
1
)
v
1
+
⋯
+
(
a
k
−
b
k
)
v
k
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=b_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +b_{k}\mathbf {v} _{k},\Leftrightarrow (a_{1}-b_{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(a_{k}-b_{k})\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} }
a
1
−
b
1
=
⋯
=
a
k
−
b
k
=
0
,
{\displaystyle a_{1}-b_{1}=\cdots =a_{k}-b_{k}=0,}
□
예시 (비교를 통한 미지수 찾기)
벡터
v
1
,
v
2
,
v
3
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}}
2
v
1
+
a
v
2
+
v
3
=
b
v
1
+
7
v
2
+
c
v
3
{\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+a\mathbf {v} _{2}+\mathbf {v} _{3}=b\mathbf {v} _{1}+7\mathbf {v} _{2}+c\mathbf {v} _{3}}
(
a
,
b
,
c
)
=
(
7
,
2
,
1
)
{\displaystyle (a,b,c)=(7,2,1)}
예시
세 선형종속 벡터
(
1
,
2
,
4
)
T
,
(
2
,
4
,
8
)
T
,
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,4)^{T},(2,4,8)^{T},(1,2,3)^{T}}
a
1
(
1
,
2
,
4
)
T
+
a
2
(
2
,
4
,
8
)
T
+
a
3
(
1
,
2
,
3
)
T
=
b
1
(
1
,
2
,
4
)
T
+
b
2
(
2
,
4
,
8
)
T
+
b
3
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle a_{1}(1,2,4)^{T}+a_{2}(2,4,8)^{T}+a_{3}(1,2,3)^{T}=b_{1}(1,2,4)^{T}+b_{2}(2,4,8)^{T}+b_{3}(1,2,3)^{T}}
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})=(b_{1},b_{2},b_{3})}
4
(
1
,
2
,
4
)
T
+
(
2
,
4
,
8
)
T
+
(
1
,
2
,
3
)
T
=
2
(
1
,
2
,
4
)
T
+
2
(
2
,
4
,
8
)
T
+
(
1
,
2
,
3
)
T
.
{\displaystyle 4(1,2,4)^{T}+(2,4,8)^{T}+(1,2,3)^{T}=2(1,2,4)^{T}+2(2,4,8)^{T}+(1,2,3)^{T}.}
틀:예제
이제 선형독립과 선형 연립방정식에 관련된 두 개의 결과를 논할 것입니다.
명제 (선형독립과 가역성 사이의 관계)
S
=
{
v
1
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{\color {green}n}\}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\color {green}n}}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
S
{\displaystyle S}
A
{\displaystyle A}
증명
S
x
=
(
c
1
,
…
,
c
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {x} =(c_{1},\ldots ,c_{n})^{T}}
c
1
v
1
+
⋯
+
c
n
v
n
=
0
⟺
A
x
=
0
,
{\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \iff A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}
S
{\displaystyle S}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
A
{\displaystyle A}
참고
이 명제는 벡터 각각의 성분의 수와 벡터의 수를 짝지어보는 방법으로 선형독립 혹은 선형종속을 판단하는 편리한 방법을 준다.
예시
집합
{
(
1
,
1
,
1
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
,
(
7
,
3
,
6
)
T
}
{\displaystyle \{(1,1,1)^{T},(2,3,4)^{T},(7,3,6)^{T}\}}
|
1
2
7
1
3
3
1
4
6
|
=
7
≠
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&7\\1&3&3\\1&4&6\\\end{vmatrix}}=7\neq 0}
명제 (선형독립과 선형 연립방정식의 해의 개수의 관계)
A
x
=
b
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
A
{\displaystyle A}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
0
{\displaystyle 0}
틀:Colored em of
A
{\displaystyle A}
증명
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}
A
{\displaystyle A}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}}
그러면,
A
x
=
b
⟺
x
1
a
1
+
⋯
+
x
n
a
n
=
b
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \iff x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} }
(
x
1
,
…
,
x
n
)
T
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}}
(
y
1
,
…
,
y
n
)
T
{\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})^{T}}
x
1
a
1
+
⋯
+
x
n
a
n
=
b
=
y
1
a
1
+
⋯
+
y
n
a
n
{\displaystyle x_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} =y_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +y_{n}\mathbf {a} _{n}}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})=(y_{1},\ldots ,y_{n})}
참고
A
{\displaystyle A}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
A
{\displaystyle A}
선형 연립방정식은 많아도 하나의 해를 갖고 이는 선형 연립방정식의 해가 없거나 유일한 해를 가지고 있다는 것과 똑같은 소리다.
예시
집합
{
(
1
,
1
,
1
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
}
{\displaystyle \{(1,1,1)^{T},(2,3,4)^{T}\}}
{
x
+
2
y
=
a
x
+
3
y
=
b
x
+
4
y
=
c
{\displaystyle {\begin{cases}x+2y&=a\\x+3y&=b\\x+4y&=c\\\end{cases}}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
{
x
+
2
y
=
4
x
+
3
y
=
3
x
+
4
y
=
2
{\displaystyle {\begin{cases}x+2y&=4\\x+3y&=3\\x+4y&=2\\\end{cases}}}
(
1
2
4
1
3
3
1
4
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&4\\1&3&3\\1&4&2\\\end{pmatrix}}}
|
1
2
4
1
3
3
1
4
2
|
=
−
4
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&4\\1&3&3\\1&4&2\\\end{vmatrix}}=-4,}
I
3
{\displaystyle I_{3}}
I
3
{\displaystyle I_{3}}
틀:예제
이제 부분공간에 대해서 논해봅시다. 간단하게 말해서 부분공간이란 좋은 성질을 가지고 있는
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
정의 4. 6. (부분공간)
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
0
∈
V
{\displaystyle \mathbf {0} \in V}
(덧셈 연산에 대해 닫힘) 각각의
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}
u
+
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V}
(스칼라 곱샘에 대해 닫힘) 각각의
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V}
c
{\displaystyle c}
c
v
∈
V
{\displaystyle c\mathbf {v} \in V}
참고
V
{\displaystyle V}
벡터공간의 정의는 좀 더 많은 조건이 필요하고 좀 더 복잡하다. 그래서 여기서는 다루지 않을 것이다.
부분공간에서 이 조건들이 충족이 되면 벡터공간의 다른 조건들이 자동적으로 충족된다.
V
{\displaystyle V}
하지만
V
{\displaystyle V}
이는 각각의
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V}
−
v
=
(
−
1
)
⋅
v
∈
V
{\displaystyle -\mathbf {v} =(-1)\cdot \mathbf {v} \in V}
0
=
v
+
(
−
v
)
∈
V
{\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {v} +(-\mathbf {v} )\in V}
예시 (Zero space)
오로지 영벡터 하나만을 가지고 있는 집합
{
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {0} \}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
예시
집합
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
3
,
4
,
5
)
T
}
{\displaystyle \{(1,2,3)^{T},(3,4,5)^{T}\}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
증명
V
=
span
(
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
3
,
4
,
5
)
T
}
)
{\displaystyle V=\operatorname {span} {(\{(1,2,3)^{T},(3,4,5)^{T}\})}}
(
1
,
2
,
3
)
T
{\displaystyle (1,2,3)^{T}}
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle (3,4,5)^{T}}
0
=
0
⋅
(
1
,
2
,
3
)
T
+
0
⋅
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle \mathbf {0} =0\cdot (1,2,3)^{T}+0\cdot (3,4,5)^{T}}
0
∈
V
{\displaystyle \mathbf {0} \in V}
u
,
v
∈
V
⇒
u
+
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V}
u
=
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle \mathbf {u} =a(1,2,3)^{T}+b(3,4,5)^{T}}
v
=
c
(
1
,
2
,
3
)
T
+
d
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle \mathbf {v} =c(1,2,3)^{T}+d(3,4,5)^{T}}
u
+
v
=
(
a
+
c
)
(
1
,
2
,
3
)
T
+
(
b
+
d
)
(
3
,
4
,
5
)
T
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =(a+c)(1,2,3)^{T}+(b+d)(3,4,5)^{T}\in V}
v
∈
V
,
c
∈
R
⇒
c
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V}
v
=
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
b
(
3
,
4
,
5
)
T
{\displaystyle \mathbf {v} =a(1,2,3)^{T}+b(3,4,5)^{T}}
c
v
=
c
a
(
1
,
2
,
3
)
T
+
c
b
(
3
,
4
,
5
)
T
∈
V
{\displaystyle c\mathbf {v} =ca(1,2,3)^{T}+cb(3,4,5)^{T}\in V}
이 예시를 통해서 성분 그 자체는 사실 중요하지 않다는 것을 볼 수 있습니다. 게다가 다음과 같은 일반적인 결론까지 내릴 수 있습니다:
명제
모든 유한집합
S
{\displaystyle S}
span
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {span} (S)}
증명
증명의 아이디어는 위의 예시에 나와있다:
영벡터는
S
{\displaystyle S}
0
∈
V
{\displaystyle \mathbf {0} \in V}
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }
S
{\displaystyle S}
u
,
v
∈
V
⇒
u
+
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V}
c
v
{\displaystyle c\mathbf {v} }
S
{\displaystyle S}
v
∈
V
,
c
∈
R
⇒
c
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V}
틀:예제
특히, 어떤 span은 특별한 이름을 가지고 있습니다:
정의 4. 7. (행, 열, 영 공간)
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
Col
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)}
A
{\displaystyle A}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
Null
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)}
ker
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {ker} (A)}
참고
유한집합의 span이 부분공간이 되는 명제로부터 행과 열 공간은 부분공간임을 알 수 있다.
행과 열 공간은 각기 다른 유클리드 공간에 있을 수도 있다. 예를 들어
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
Row
(
A
)
∈
R
m
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)\in \mathbb {R} ^{m}}
Col
(
A
)
∈
R
n
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)\in \mathbb {R} ^{n}}
예시
영공간은 부분공간이다.
증명
homogeneous한 선형 연립방정식
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
V
{\displaystyle V}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
V
=
Null
(
A
)
{\displaystyle V=\operatorname {Null} (A)}
A
0
=
0
{\displaystyle A\mathbf {0} =\mathbf {0} }
0
∈
V
{\displaystyle \mathbf {0} \in V}
u
,
v
∈
V
⇒
u
+
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\Rightarrow \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}
A
u
=
0
,
A
v
=
0
{\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {0} ,A\mathbf {v} =\mathbf {0} }
A
(
u
+
v
)
=
A
u
+
A
v
=
0
+
0
=
0
{\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=A\mathbf {u} +A\mathbf {v} =\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }
u
+
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in V}
v
∈
V
,
c
∈
R
⇒
c
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V,c\in \mathbb {R} \Rightarrow c\mathbf {v} \in V}
v
∈
V
{\displaystyle \mathbf {v} \in V}
A
v
=
0
{\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }
A
(
c
v
)
=
c
(
A
v
)
=
c
0
=
0
{\displaystyle A(c\mathbf {v} )=c(A\mathbf {v} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0} }
c
v
∈
V
{\displaystyle c\mathbf {v} \in V}
예시
행렬
A
=
(
1
2
3
3
4
5
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}}}
Row
(
A
)
=
span
(
{
(
1
2
3
)
,
(
3
4
5
)
}
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)=\operatorname {span} {(\{{\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3&4&5\end{pmatrix}}\})}}
Col
(
A
)
=
span
(
{
(
1
,
3
)
T
,
(
2
,
4
)
T
,
(
3
,
5
)
T
}
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)=\operatorname {span} {(\{(1,3)^{T},(2,4)^{T},(3,5)^{T}\})}}
Null
(
A
)
=
{
(
x
,
y
,
z
)
T
=
(
z
,
−
2
z
,
z
)
T
:
z
∈
R
}
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)=\{(x,y,z)^{T}=(z,-2z,z)^{T}:z\in \mathbb {R} \}}
(
1
2
3
3
4
5
)
(
x
y
z
)
=
(
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\end{pmatrix}}}
{
(
x
,
y
,
z
)
T
=
(
z
,
−
2
z
,
z
)
T
:
z
∈
R
}
{\displaystyle \{(x,y,z)^{T}=(z,-2z,z)^{T}:z\in \mathbb {R} \}}
예시
집합
{
(
x
,
y
,
z
)
T
:
x
+
y
+
z
=
0
}
{\displaystyle \{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
기하학적으로 이 집합은
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
틀:예제
이제 좀더 용어적으로 부분공간에 연관된 개념을 알아봅시다.
정의 4. 8. (생성집합)
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
V
{\displaystyle V}
S
{\displaystyle S}
span
(
S
)
=
V
{\displaystyle \operatorname {span} (S)=V}
V
{\displaystyle V}
이 경우,
S
{\displaystyle S}
V
{\displaystyle V}
정의 4. 9. (기저)
Let
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
참고
기저는 중요한 개념이다. 기저는 최소한의 벡터를 통해
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
생성집합 속에서 선형독립은 '쓸모없는' 벡터가 없다는 것을 보장해준다.('쓸모없는' 벡터는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현할 수 있어서 쓸모없는 벡터가 있으면 선형독립을 유지할 수 없다.) 선형종속 생성집합이 주어졌을 때, 몇몇 벡터를 없애는 것으로 선형독립을 만들 수 있다.(이는 축소 정리로 알려져있다. 이에 대해서는 나중에 논의할 것이다.) 기저(basis)의 이니셜이 b이므로 우리의 논의에서
β
{\displaystyle \beta }
일반적으로 기저는 유일하지 않다.
아래의 정리는 기저의 중요성의 정수를 보여줍니다.
정리
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
증명
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
span
β
{\displaystyle \operatorname {span} {\beta }}
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
선형결합의 유일성은 선형독립벡터에 대한 계수 비교에 관한 명제를 따른다.
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
부분공간의 정의에 의해
span
β
⊆
V
{\displaystyle \operatorname {span} {\beta }\subseteq V}
β
{\displaystyle \beta }
β
{\displaystyle \beta }
β
⊆
V
{\displaystyle \beta \subseteq V}
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
한편,
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
V
⊆
span
β
{\displaystyle V\subseteq \operatorname {span} {\beta }}
따라서,
span
β
=
V
{\displaystyle \operatorname {span} {\beta }=V}
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
β
{\displaystyle \beta }
모두가
0
{\displaystyle 0}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
=
0
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }
v
1
,
…
,
v
n
{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}
V
{\displaystyle V}
a
1
v
1
+
⋯
+
a
n
v
n
and
0
v
1
+
⋯
+
0
v
n
,
{\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}{\text{ and }}0\mathbf {v} _{1}+\cdots +0\mathbf {v} _{n},}
이는 선형결합 표현의 유일성에 모순된다.
예시 (표준기저)
e
1
=
(
1
,
0
,
…
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,\dots ,0)}
e
2
=
(
0
,
1
,
…
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,\dots ,0)}
e
n
=
(
0
,
0
,
…
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,\dots ,1)}
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
증명
S
=
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle S=\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}}
S
{\displaystyle S}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
n
=
{
(
v
1
,
…
,
v
n
)
T
:
v
1
,
…
,
v
n
∈
R
}
=
{
v
1
e
1
+
⋯
+
v
n
e
n
:
v
1
,
…
,
v
n
∈
R
}
=
span
(
S
)
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\{(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}:v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} \}=\{v_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}:v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} \}=\operatorname {span} (S)}
S
{\displaystyle S}
v
1
e
1
+
⋯
+
v
n
e
n
=
0
⟹
(
v
1
,
…
,
v
n
)
T
=
(
0
,
…
,
0
)
T
⟹
v
1
=
⋯
=
v
n
=
0
{\displaystyle v_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} \implies (v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}=(0,\ldots ,0)^{T}\implies v_{1}=\cdots =v_{n}=0}
예시
{
(
−
1
,
1
,
0
)
T
,
(
−
1
,
0
,
1
)
T
}
{\displaystyle \{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}}
S
=
{
(
x
,
y
,
z
)
T
:
x
+
y
+
z
=
0
}
{\displaystyle S=\{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}}
증명
x
+
y
+
z
=
0
{\displaystyle x+y+z=0}
(
x
,
y
,
z
)
T
=
(
−
s
−
t
,
s
,
t
)
T
=
s
(
−
1
,
1
,
0
)
T
+
t
(
−
1
,
0
,
1
)
T
{\displaystyle (x,y,z)^{T}=(-s-t,s,t)^{T}=s(-1,1,0)^{T}+t(-1,0,1)^{T}}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
(
−
1
,
1
,
0
)
T
{\displaystyle (-1,1,0)^{T}}
(
−
1
,
0
,
1
)
T
{\displaystyle (-1,0,1)^{T}}
β
=
{
(
−
1
,
1
,
0
)
T
,
(
−
1
,
0
,
1
)
T
}
{\displaystyle \beta =\{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}}
S
{\displaystyle S}
더불어
β
{\displaystyle \beta }
a
(
−
1
,
1
,
0
)
T
+
b
(
−
1
,
0
,
1
)
T
=
(
0
,
0
,
0
)
T
⟹
(
−
a
−
b
,
a
,
b
)
T
=
(
0
,
0
,
0
)
T
⟹
a
=
b
=
0.
{\displaystyle a(-1,1,0)^{T}+b(-1,0,1)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies (-a-b,a,b)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies a=b=0.}
각각의 공간에는 무수히 많은 다른 기저가 존재합니다. 이 기저들에
0
{\displaystyle 0}
틀:예제
이제, 기저를 구성하는 몇 가지 방법에 대해 논해봅시다.
정리 (확장정리와 축소정리)
V
{\displaystyle V}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(확장정리)
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
(축소정리) 모든
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
참고
관습적으로, zero space
{
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {0} \}}
∅
{\displaystyle \varnothing }
이것의 증명은 복잡합니다.
따름정리(
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
증명
공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
예시 (축소 정리의 활용)
부분공간
V
=
{
(
x
+
2
y
+
3
z
,
2
x
+
3
y
+
4
z
,
5
x
+
8
y
+
11
z
)
T
:
x
,
y
,
z
∈
R
}
{\displaystyle V=\{(x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^{T}:x,y,z\in \mathbb {R} \}}
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
}
{\displaystyle \{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}}
증명
다음을 따라
V
{\displaystyle V}
S
1
=
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
,
(
5
,
8
,
11
)
T
}
{\displaystyle S_{1}=\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T},(5,8,11)^{T}\}}
(
x
+
2
y
+
3
z
,
2
x
+
3
y
+
4
z
,
5
x
+
8
y
+
11
z
)
T
=
x
(
1
,
2
,
3
)
T
+
y
(
2
,
3
,
4
)
T
+
z
(
5
,
8
,
11
)
T
{\displaystyle (x+2y+3z,2x+3y+4z,5x+8y+11z)^{T}=x(1,2,3)^{T}+y(2,3,4)^{T}+z(5,8,11)^{T}}
S
1
{\displaystyle S_{1}}
(
5
,
8
,
11
)
T
=
(
1
,
2
,
3
)
T
+
2
(
2
,
3
,
4
)
T
{\displaystyle (5,8,11)^{T}=(1,2,3)^{T}+2(2,3,4)^{T}}
V
=
span
S
1
{\displaystyle V=\operatorname {span} {S_{1}}}
S
2
=
{
(
1
,
2
,
3
)
T
,
(
2
,
3
,
4
)
T
}
{\displaystyle S_{2}=\{(1,2,3)^{T},(2,3,4)^{T}\}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
c
1
(
1
,
2
,
3
)
T
+
c
2
(
2
,
3
,
4
)
T
=
(
0
,
0
,
0
)
T
⟹
(
c
1
+
2
c
2
,
2
c
1
+
3
c
2
,
3
c
1
+
4
c
2
)
=
(
0
,
0
,
0
)
T
{\displaystyle c_{1}(1,2,3)^{T}+c_{2}(2,3,4)^{T}=(0,0,0)^{T}\implies (c_{1}+2c_{2},2c_{1}+3c_{2},3c_{1}+4c_{2})=(0,0,0)^{T}}
(
1
0
0
0
1
0
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
c
1
=
c
2
=
0
{\displaystyle c_{1}=c_{2}=0}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
S
2
{\displaystyle S_{2}}
틀:예제
기저와 차원은 서로 관련되어 있습니다.
정의 4. 10. (차원)
β
{\displaystyle \beta }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
V
{\displaystyle V}
β
{\displaystyle \beta }
V
{\displaystyle V}
dim
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {dim} (V)}
참고
관습에 의해, zero space
{
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {0} \}}
0
{\displaystyle 0}
이는 공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
0
{\displaystyle 0}
부분공간이 더 높은 차원을 가질 때 이 공간은 더 많은 '유연성'을 가진다. 바꿀 수 있는 변수가 더 존재하기 때문이다.
부분공간에서 무수하게 많은 기저가 있다는 것을 상기합시다. 감사하게도 모든 기저들은 같은 개수의 벡터가 존재하고, 부분공간의 차원 역시도 유일합니다.
직관적으로 예상한 것처럼 말이죠.
이는 다음 정리를 따라 보장됩니다.
정리 (차원의 유일성)
임의의 부분공간의 차원은 유일하다. 즉,
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
V
{\displaystyle V}
β
1
{\displaystyle \beta _{1}}
β
2
{\displaystyle \beta _{2}}
β
1
{\displaystyle \beta _{1}}
β
2
{\displaystyle \beta _{2}}
증명
β
1
=
{
u
1
,
…
,
u
k
}
{\displaystyle \beta _{1}=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}
β
2
=
{
w
1
,
…
,
w
ℓ
}
{\displaystyle \beta _{2}=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{\ell }\}}
U
n
×
k
{\displaystyle U_{n\times k}}
W
n
×
ℓ
{\displaystyle W_{n\times \ell }}
u
i
{\displaystyle \mathbf {u} _{i}}
w
j
{\displaystyle \mathbf {w} _{j}}
기저의 정의에 의해
span
β
1
=
V
{\displaystyle \operatorname {span} {\beta _{1}}=V}
span
β
2
=
V
{\displaystyle \operatorname {span} {\beta _{2}}=V}
a
1
=
(
a
11
,
…
,
a
k
1
)
T
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(a_{11},\ldots ,a_{k1})^{T}}
w
1
+
0
w
2
+
⋯
+
0
w
k
=
a
11
u
1
+
a
21
u
2
+
⋯
+
a
k
1
u
k
⟹
w
1
=
U
a
1
{\displaystyle \mathbf {w} _{1}+0\mathbf {w} _{2}+\cdots +0\mathbf {w} _{k}=a_{11}\mathbf {u} _{1}+a_{21}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{k1}\mathbf {u} _{k}\implies \mathbf {w} _{1}=U\mathbf {a} _{1}}
w
2
=
U
a
2
,
…
,
w
ℓ
=
U
a
ℓ
{\displaystyle \mathbf {w} _{2}=U\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {w} _{\ell }=U\mathbf {a} _{\ell }}
a
1
,
…
,
a
ℓ
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{\ell }}
k
×
ℓ
{\displaystyle k\times \ell }
A
{\displaystyle A}
W
=
U
A
{\displaystyle W=UA}
우리는
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
[ 2]
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
W
{\displaystyle W}
W
x
=
U
A
x
=
U
0
=
0
{\displaystyle W\mathbf {x} =UA\mathbf {x} =U\mathbf {0} =\mathbf {0} }
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =0}
따라서
(
A
|
0
)
{\displaystyle (A|\mathbf {0} )}
ℓ
+
1
{\displaystyle \ell +1}
(
A
|
0
)
{\displaystyle (A|\mathbf {0} )}
k
{\displaystyle k}
k
≥
ℓ
{\displaystyle k\geq \ell }
k
<
ℓ
{\displaystyle k<\ell }
k
<
ℓ
{\displaystyle k<\ell }
ℓ
{\displaystyle \ell }
대칭성에 의해 (
β
1
{\displaystyle \beta _{1}}
β
2
{\displaystyle \beta _{2}}
k
≤
ℓ
{\displaystyle k\leq \ell }
k
=
ℓ
{\displaystyle k=\ell }
예시 (유클리드 공간의 차원)
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
{
e
1
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}}
n
{\displaystyle n}
예시 (평면의 차원)
부분공간
{
(
x
,
y
,
z
)
T
:
x
+
y
+
z
=
0
}
{\displaystyle \{(x,y,z)^{T}:x+y+z=0\}}
2
{\displaystyle 2}
{
(
−
1
,
1
,
0
)
T
,
(
−
1
,
0
,
1
)
T
}
{\displaystyle \{(-1,1,0)^{T},(-1,0,1)^{T}\}}
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle 2}
틀:예제
이제 행, 열, 영공간의 기저와 차원에 대해 논해봅시다.
명제 (행공간의 차원)
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
증명
행공간은 기본행연산에 대해 불변이라는 사실을 이용하자. 예를 들어,
(치환)
span
(
{
r
1
,
r
2
,
r
3
}
)
=
span
(
{
r
2
,
r
1
,
r
3
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\})}}
(스칼라 곱셈)
span
(
{
r
1
,
r
2
,
r
3
}
)
=
span
(
{
k
r
1
,
r
2
,
r
3
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{k\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}}
(덧셈)
span
(
{
r
1
,
r
2
,
r
3
}
)
=
span
(
{
r
1
+
k
r
2
,
r
2
,
r
3
}
)
{\displaystyle \operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}=\operatorname {span} {(\{\mathbf {r} _{1}+k\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\})}}
이것을 사실이라 가정하면
Row
(
A
)
=
Row
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)=\operatorname {Row} (R)}
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
Row
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (R)}
0
{\displaystyle 0}
Row
(
R
)
=
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (R)=\operatorname {Row} (A)}
참고
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
0
{\displaystyle 0}
예시
A
=
(
1
3
4
2
5
3
6
15
9
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}}
(
1
0
−
11
0
1
5
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&-11\\0&1&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
β
=
{
(
1
0
−
11
)
,
(
0
1
5
)
}
{\displaystyle \beta =\{{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}}\}}
β
{\displaystyle \beta }
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
2
{\displaystyle 2}
또다른 기저는
{
(
1
3
4
)
,
(
2
5
3
)
}
{\displaystyle \{{\begin{pmatrix}1&3&4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2&5&3\end{pmatrix}}\}}
0
{\displaystyle 0}
명제 (열공간의 기저)
A
{\displaystyle A}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
i
1
,
…
,
i
k
{\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}}
R
{\displaystyle R}
{
a
i
1
,
…
,
a
i
k
}
{\displaystyle \{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{k}}\}}
Col
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)}
증명
가우스-요르단 소거법을 사용해서,
(
A
|
0
)
{\displaystyle (A|\mathbf {0} )}
(
R
|
0
)
{\displaystyle (R|\mathbf {0} )}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
R
x
=
0
{\displaystyle R\mathbf {x} =\mathbf {0} }
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
{
a
i
1
,
…
,
a
i
k
}
{\displaystyle \{\mathbf {a} _{i_{1}},\ldots ,\mathbf {a} _{i_{k}}\}}
예시
A
=
(
1
3
4
2
5
3
6
15
9
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}}
A
{\displaystyle A}
(
1
0
−
11
0
1
5
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&-11\\0&{\color {green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
{
(
1
,
2
,
6
)
T
,
(
4
,
5
,
15
)
T
}
{\displaystyle \{(1,2,6)^{T},(4,5,15)^{T}\}}
Col
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)}
a
1
,
a
2
,
a
3
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}}
A
{\displaystyle A}
a
3
=
−
11
a
1
+
5
a
2
{\displaystyle \mathbf {a} _{3}=-11\mathbf {a} _{1}+5\mathbf {a} _{2}}
R
{\displaystyle R}
예시 (영공간의 기저)
A
=
(
1
3
4
2
5
3
6
15
9
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}}
A
{\displaystyle A}
(
1
0
−
11
0
1
5
0
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&-11\\0&{\color {green}1}&5\\0&0&0\\\end{pmatrix}}}
{
(
11
,
−
5
,
1
)
T
}
{\displaystyle \{(11,-5,1)^{T}\}}
Null
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
{
x
=
(
11
t
,
−
5
t
,
t
)
:
t
∈
R
}
{\displaystyle \{\mathbf {x} =(11t,-5t,t):t\in \mathbb {R} \}}
1
{\displaystyle 1}
틀:예제
명제 (영공간의 차원)
A
{\displaystyle A}
Null
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)}
A
x
=
0
{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }
증명
위의 예시에서 증명의 아이디어를 얻자:
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
행공간, 열공간, 영공간의 차원에는 다음과 같은 특별한 이름이 붙습니다:
정의 4. 11. (행 랭크, 열 랭크, nullity)
A
{\displaystyle A}
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
Col
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)}
Null
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)}
A
{\displaystyle A}
r
o
w
r
a
n
k
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {row\;rank} (A)}
c
o
l
u
m
n
r
a
n
k
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {column\;rank} (A)}
nullity
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {nullity} (A)}
이에 더해 같은 행렬의 행 랭크와 열 랭크는 같습니다.
명제
각각의 행렬
A
{\displaystyle A}
r
o
w
r
a
n
k
(
A
)
=
c
o
l
u
m
n
r
a
n
k
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {row\;rank} (A)=\operatorname {column\;rank} (A)}
A
{\displaystyle A}
증명
열공간(
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
0
{\displaystyle 0}
A
{\displaystyle A}
이러한 명제 덕분에, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다.
정의 4. 12. (랭크)
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
rank
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {rank} (A)}
A
{\displaystyle A}
참고
우리는 보통 행 랭크나 열 랭크 같은 표현은 내다던지고 이 용어를 사용한다.
이제, 랭크와 nullity에 관련한 중요한 정리를 소개하겠습니다.
정리 (차원정리)
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times {\color {green}n}}
rank
(
A
)
+
nullity
(
A
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)={\color {green}n}}
증명
R
{\displaystyle R}
A
{\displaystyle A}
rank
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {rank} (A)}
R
{\displaystyle R}
nullity
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {nullity} (A)}
n
{\displaystyle {\color {green}n}}
R
{\displaystyle R}
R
x
=
0
{\displaystyle R\mathbf {x} =\mathbf {0} }
예시
A
=
(
1
3
4
2
5
3
6
15
9
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3&4\\2&5&3\\6&15&9\\\end{pmatrix}}}
{
(
1
0
−
11
)
,
(
0
1
5
)
}
{\displaystyle \{{\begin{pmatrix}1&0&-11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&5\end{pmatrix}}\}}
Row
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Row} (A)}
{
(
1
,
2
,
6
)
T
,
(
4
,
5
,
15
)
T
}
{\displaystyle \{(1,2,6)^{T},(4,5,15)^{T}\}}
Col
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Col} (A)}
{
(
11
,
−
5
,
1
)
T
}
{\displaystyle \{(11,-5,1)^{T}\}}
Null
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Null} (A)}
따라서
rank
(
A
)
=
2
{\displaystyle \operatorname {rank} (A)=2}
nullity
(
A
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {nullity} (A)=1}
A
{\displaystyle A}
3
{\displaystyle 3}
틀:예제
↑ Homogeneous와 마찬가지로 적절한 번역 단어가 없는 상태입니다.
↑ 수학과 수업 혹은 수학적인 형식을 좋아하는 사람의 수업을 들으면 자주 마주치는 단어입니다. 저도 알고 싶지 않았어요.
