선형대수학 입문/역행렬과 행렬식

역행렬

역행렬은 연립방정식의 역원과 비슷한 역할을 합니다.

정의 3.1. (역행렬)

$n\times n$ 행렬 $A$은 다음이 성립하는 $n\times n$ 행렬 $B$가 존재하면 가역행렬이다.(혹은 특이 값이 없다.) $$AB=I_{n}=BA$$ 행렬 $B$는 행렬 $A$의 역행렬이라고 하고, 보통 $A^{-1}$이라고 쓴다. 역행렬이 존재하지 않은 행렬은 비가역적이라고 한다.(혹은 특이 값을 갖는다.)

참고

• 가역행렬 정리에 따르면(이것의 완전한 정리들의 증명들은 복잡하므로 스킵한다.) 행렬 하나가 $AB=I_{n}$와 $BA=I_{n}$를 가지고 있으면 그 반대쪽 행렬도 똑같이 성립한다.

연립 방정식에서 곱셈의 역은 존재하기만 한다면 유일합니다. 마찬가지롤, 역행렬이 존재하면 유일합니다.

명제 (역행렬의 유일성)

역행렬이 존재하면 유일하다.

증명

행렬 $A$의 역행렬이 각기 다른 행렬 $B$와 $C$이라고 가정하자.(귀류법) 역행렬의 정의에 따라 $AB=BA=AC=CA=I$이다. $A$의 역행렬이 존재한다면 우리는 $$AB=AC\Leftrightarrow A^{-1}AB=A^{-1}AC\Leftrightarrow IB=IC\Leftrightarrow B=C,$$ 를 얻을 수 있고, 이는 모순이다.

예시 (가역행렬)

행렬 $${\begin{pmatrix}1&2\\3&0\\\end{pmatrix}}$$ 은 가역적이고, 이것의 역행렬은 $${\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$$ 이다. 왜냐하면 $${\begin{pmatrix}1&2\\3&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}$$ 이기 때문이다.(가역행렬의 정리에 따라 다른 순서의 행렬곱도 역시 $I_{2}$임을 내포한다.)

예시 (비가역행렬)

행렬 $${\begin{pmatrix}1&3\\4&12\\\end{pmatrix}}$$ 은 비가역적이다.

증명

저 행렬이 가역적이라고 가정하자.(귀류법) ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ 과 같은 행렬이 존재하여 $${\begin{pmatrix}1&3\\4&12\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$$ 가 성립한다고 하자. 하지만 이 등식은 아래와 동치다. $${\begin{pmatrix}a+4c&b+4d\\3a+12c&b+12d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a+4c&=1\\3a+12c&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a+4c&=1\\a+4c&=0\end{cases}},$$ 이는 가능하지 않으므로, 모순이다.

명제(역행렬의 성질)

$A$와 $B$가 같은 크기의 행렬이라고 하고 $c$는 $0$이 아닌 스칼라라고 하자. $A$와 $B$는 다음과 같은 성질을 만족한다.

• (자기가역성) $A^{-1}$는 가역적이고 $(A^{-1})^{-1}=A$이다.
• (스칼라 곱셈) $cA$는 가역적이고 $(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}$이다.
• ('역곱셈') $AB$는 가역적이고 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$이다.
• (전치와 역행렬의 치환가능성) $A^{T}$ is invertible $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

증명

• (자기가역성) $A$는 가역적이므로, $AA^{-1}=A^{-1}A=I$, 따라서 $A^{-1}$는 가역적이고 그 역행렬은 $A$이다.
• (스칼라 곱셈) $(cA)(c^{-1}A^{-1})=(cc^{-1})(AA^{-1})=1(I)=I$, 증명 끝.
• ('역곱셈') $(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I$, 증명 끝.
• (전치와 역행렬의 치환가능성) $(A^{T})(A^{-1})^{T}=(A^{-1}A)^{T}=I^{T}=I$, 증명 끝.

참고

• 귀납적으로 다음과 같은 일반화된 '역곱셈'을 얻을 수 있다: $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}$가 가역적이면

$$(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})^{-1}=A_{n}^{-1}\cdots A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}$$

역행렬은 다음과 같이 선형 연립방정식을 푸는데도 사용할 수 있습니다:

명제

가역행렬 $A$가 있는 $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$를 선형 연립방정식을 생각하자. 이 선형 연립방정식은 $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$에 의해 유일한 해를 갖는다.

증명

$${\begin{aligned}&&A\mathbf {x} &=\mathbf {b} \\&\Leftrightarrow &{\color {green}A^{-1}}A\mathbf {x} &={\color {green}A^{-1}}\mathbf {b} \\&\Leftrightarrow &I\mathbf {x} &={\color {green}A^{-1}}\mathbf {b} \\&\Leftrightarrow &\mathbf {x} &={\color {green}A^{-1}}\mathbf {b} \\\end{aligned}}$$

따라서 기본 행연산과 밀접한 관계가 있는, 그리고 기본 행연산과 관련된 결과의 증명에서 중요한 기본행렬을 정의할 수 있습니다.

정의 3.2. (기본행렬)

$n$을 자연수라고 하자. 그러면 세 가지 종류의 $n\times n$ 기본행렬이 존재한다. 기본행렬은 항등행렬 $I_{n}$에서 정의 2.4.에서 정의한 기본 행연산의 연산을 하여 각각의 기본행렬을 얻을 수 있다.

참고

• 항등행렬 $I_{n}$에서 행렬을 만들 때 두 개나 그 이상의 기본 행연산이 필요하다면 기본 행렬이 아니다.

예시

행렬 $${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}$$ 은 $I_{3}$에 기본 행연산 $\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}$을 적용하여 만들 수 있으므로 치환을 적용한 기본행렬이다.

행렬 $${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&7&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$$ 은 $I_{3}$에 기본 행연산 $7\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}$을 적용하여 만들 수 있으므로 스칼라 곱셈을 적용한 기본행렬이다.

행렬 $${\begin{pmatrix}1&-9&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$$ 은 $I_{3}$에 기본 행연산 $-9\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$적용하여 만들 수 있으므로 덧셈을 적용한 기본행렬이다.

행렬 $${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$$ 은 $I_{3}$에 $\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3},\mathbf {r} _{2}\leftrightarrow \mathbf {r} _{3}$같이 적어도 두 개의 기본 행연산을 필요로 하므로 이 경우에는 기본연산이 아니다.

명제

크기가 $m\times n$인 행렬 $A$을 생각하자. $B$가 $A$에 기본 행연산 한 번으로 만들어지면, $B=EA$를 만족하는 크기가 $m\times m$인 기본행렬 $E$가 존재하여, $E$ 역시도 $I_{m}$에 같은 기본 행연산을 연산하여 얻을 수 있다.

반대로, $E$가 $m\times m$인 기본행렬이면, $EA$는 $A$에 상응하는 기본 행연산을 실행하여 만들 수 있다.

증명

설명: $2\times 2$의 예시:

• 치환 기본 행연산:$${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\overset {\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}c&d\\a&b\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\times a+1\times c&0\times b+1\times d\\1\times a+0\times c&1\times b+0\times d\\\end{pmatrix}}$$
• 스칼라 곱셈 기본 행연산:

$${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\overset {k\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}ka&kb\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\times a+0\times c&k\times b+0\times d\\0\times a+k\times c&0\times b+k\times d\\\end{pmatrix}}$$

• 덧셈 기본 행연산:

$${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\overset {k\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}a&b\\c+ka&d+kb\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times a+k\times c&1\times b+0\times d\\k\times a+1\times c&k\times b+1\times d\\\end{pmatrix}}$$

참고

• 명제의 시각화:

$${\begin{aligned}A&{\overset {\text{기 본 행 연 산}}{\to }}B={\color {green}E}A\\I_{m}&{\overset {\text{기 본 행 연 산}}{\to }}{\color {green}E}\end{aligned}}$$

• 귀납적으로 다음을 생각할 수 있다:

$${\begin{aligned}A&{\overset {\color {green}{\text{기 본 행 연 산 1}}}{\to }}{\color {green}E_{1}}A{\overset {\color {blue}{\text{기 본 행 연 산 2}}}{\to }}{\color {blue}E_{2}}({\color {green}E_{1}}A)\cdots {\overset {\color {brown}{\text{기 본 행 연 산 }}n}{\to }}B={\color {brown}E_{n}}\cdots {\color {blue}E_{2}}{\color {green}E_{1}}A\\I_{m}&{\overset {\color {green}{\text{기 본 행 연 산 1}}}{\to }}{\color {green}E_{1}}{\overset {\color {blue}{\text{기 본 행 연 산 2}}}{\to }}{\color {blue}E_{2}}{\color {green}E_{1}}\cdots {\overset {\color {brown}{\text{기 본 행 연 산 }}n}{\to }}{\color {brown}E_{n}}\cdots {\color {blue}E_{2}}{\color {green}E_{1}}\end{aligned}}$$

예시

다음 기본 행연산 $${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}{\overset {\color {green}\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\overset {\color {blue}-3\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}-9&-12\\1&2\\\end{pmatrix}}{\overset {\color {brown}4\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}-5&-4\\1&2\\\end{pmatrix}}$$ 에 대응하는 행렬곱 $${\begin{pmatrix}-5&-4\\1&2\\\end{pmatrix}}={\color {brown}{\begin{pmatrix}1&4\\0&1\\\end{pmatrix}}}{\color {blue}{\begin{pmatrix}-3&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}{\color {green}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}$$ 을 만들 수 있다.

명제 (기본행렬의 가역성)

기본행렬은 가역적이다. 기본행렬의 역행렬은 같은 종류의 연산의 기본행렬이다.

증명

각각의 기본 행연산의 역과정은 같은 종류의 기본 행연산이다. $E_{1}$와 $E_{2}$는 서로 역과정에 있는 두 기본 행연산에 대응하는 기본행렬이라고 하자. 이는 같은 종류이다. 따라서, $E_{2}E_{1}=I\Leftrightarrow E_{1}^{-1}=E_{2}$이고, 증명은 끝났다.($I$는 $I$에 어떤 기본 행 연산과 그것의 역과정을 연산하면 얻을 수 있기 때문이다.)

참고

• $R$이 $A$의 RREF(기약행사다리꼴행렬)이면, 어떤 기본행렬 $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{k}$에 대해 $R=E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A$.

• 기본행렬은 가역적이므로, $E_{k}\cdots E_{2}E_{1}$는 가역적이고, 그것의 역행렬은 $E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\cdots E_{k}^{-1}$이다.
• 다시 말해서, 어떤 가역행렬 $P$에 대해서 $R=PA$이다.

예시

$\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}$, $2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$, $2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}$의 역과정들은 각각 $\mathbf {r} _{1}\leftrightarrow \mathbf {r} _{2}$, ${\frac {1}{2}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}$, $-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}$이므로 기본행렬 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\\end{pmatrix}}$의 역행렬은 각각 ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\\\end{pmatrix}}$ 이다.

특히, 치환 기본행렬의 역행렬은 자기 자신이다.

따라서 우리는 가역행렬의 기본정리 중 복잡한 정리들은 빼버린 간단한 버전을 말할 수 있습니다.

정리 (간략화한 가역행렬의 기본정리)

$A$는 $n\times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 아래 명제들은 동치이다.

(i) $A$는 가역행렬이다.

(ii) homogeneous한 선형 연립방정식 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$은 오직 자명한 해 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$만을 갖는다.

(iii) $A$의 RREF는 ${\color {green}I_{n}}$이다.

(iv) $A$는 기본행렬들의 곱이다.

증명

증명을 위해 순환 함의(내포)를 만들어보려 한다. 예를 들어 (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (iv) $\Rightarrow$ (i)처럼 만드는 것이다. 그리고 이 네 가지 중 두 명제를 아무렇게나 고르면, 그 두 명제는 서로 동치일 것이고, 따라서 이는 네 명제가 동치한다는 것을 의미한다.

(i) $\Rightarrow$ (ii): 이것은 선형 연립방정식을 푸는 것에 대한 명제(정의 3.2.의 위)를 통해 참임을 알 수 있다. 그리고 $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {0} =\mathbf {0}$이다.

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 선형 연립방정식이 유일한 해를 갖기 때문에 선형 연립방정식 첨가행렬 $(A|\mathbf {0} )$의 RREF는 $1$인 선행성분이 1열부터 $n$열까지에만 있고, $(n+1)$열에서는 그렇지 않다. 즉 $(I_{n}|0)$이다. 임의의 기본 행연산들을 연산한 후에도 가장 오른쪽에 있는 열은 여전히 0이므로 $A$의 RREF는 $I_{n}$이다.

(iii) $\Rightarrow$ (iv): $A$의 RREF는 $I_{n}$이므로, $A$ 기본행렬 $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{k}$에 대하여 $A$의 RREF는 $E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A$와 같고, $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{k}$, 이는 $E_{k}\cdots E_{2}E_{1}A=I_{n}$임을 의미한다. 역행렬의 정의와 일반적인 '역 곱셈'에 의하여 우리는 $$A=(E_{k}\cdots E_{2}E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}\cdots E_{k}^{-1}$$ 를 얻을 수 있다: 즉 $A$는 기본행렬들의 곱이다.

(iv) $\Rightarrow$ (i): $A$는 기본행렬들의 곱인 기본행렬이고, 기본행렬은 가역행렬이므로, 이는 $A$가 역행렬의 일반적인 '역곱셈'에 의해 가역적이라는 것을 의미한다.

참고

• 이 정리는 행렬의 가역성을 증명하는 여러 방법을 제공한다: 동치인 하나의 명제를 증명함으로써 증명할 수 있다.

• 이는 아마 증명하기 쉬울 것이다.

• 그리고, 동치인 명제의 우리가 어떤 결과에 대해서 논의할 때, 그것들은 이 정리와 엮일 수 있다.

예시

행렬 $${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}$$을 생각하자. 가우스-요르단 소거법으로 RREF를 찾으면: $${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2\\0&-3\\\end{pmatrix}}{\overset {-{\frac {1}{3}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$$ . 주어진 행렬의 ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}=I_{2}$이므로, 간략화된 가역행렬의 기본정리에 따라 우리는 다음과 같은 결과를 낼 수 있다:

(i) ${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}$는 가역행렬이다.

(ii) homogeneous 선형 연립방정식 ${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}\mathbf {x} =\mathbf {0}$은 오직 자명한 해 $\mathbf {x} =0$를 갖는다.

(iii) ${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}$는 기본행렬들의 곱이다.

이를 하나하나 확인해보자.

(i): $${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1/3&2/3\\2/3&-1/3\\\end{pmatrix}}=I_{2}$$ □

(ii): 선형 연립방정식은 첨가행렬 ${\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\\end{pmatrix}}$로 표현할 수 있고, 가우스-요르단 소거법으로 주어진 행렬의 RREF를 얻을 수 있다: $${\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&-3&0\\\end{pmatrix}}{\overset {-{\frac {1}{3}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}.$$

따라서, 우리는 첨가행렬의 RREF를 통해 직접적으로 선형 연립방정식이 오직 하나의 자명한 해를 얻는다는 것을 볼 수 있다.

□

(iii): $${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\\end{pmatrix}}$$ □

아래 정리로 역행렬을 찾는 간편적이고 효율적인 방법을 얻을 수 있습니다.

정리 (가우스-요르단 소거법을 사용한 역행렬 찾기)

$A$를 크기가 $n\times n$인 가역행렬이라고 하자. 그러면 (첨가)행렬 $(A|I_{n})$를 유한한 기본행연산을 사용하여 $(A|I_{n})$의 RREF인 (첨가)행렬 $(I_{n}|B)$ ($B$의 크기는 $A$와 같다.)을 만들 수 있다. 그리고 ${\color {green}B=A^{-1}}$이다.

증명

설명: 우리는 $({\color {green}I_{n}}|{\color {blue}B})$가 $({\color {green}A}|{\color {blue}I_{n}})$의 RREF라는 사실을 이용하여 $E_{1},\ldots ,E_{k}$에 대하여 $E_{k}\cdots E_{1}({\color {green}A}|{\color {blue}I_{n}})=({\color {green}I_{n}}|{\color {blue}B})$라고 쓸 수 있다. 따라서 $E_{k}\cdots E_{1}{\color {green}A}={\color {green}I_{n}}$은 증명가능하고 $E_{k}\cdots E_{1}{\color {blue}I_{n}}={\color {blue}B}$이다. 이는 $${\color {blue}B}{\color {green}A}=(E_{k}\cdots \underbrace {E_{1}{\color {blue}I_{n}}} _{E_{1}}){\color {green}A}=I_{n},$$ 를 따른다. 따라서 $B=A^{-1}$이다.

참고

• if $A$가 가역적이지 않으면, $(A|I_{n})$를 to $(I_{n}|B)$로 바꿀 수 없다.(그래도 $(A|I_{n})$의 RREF는 여전히 존재하고, $(I_{n}|B)$의 형태가 아닐 뿐이다.)

예시

$A={\begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}}$를 상정하자. 몇몇 기본 행연산을 거치면: $$\left({\begin{array}{cc|cc}2&0&1&0\\2&2&0&1\\\end{array}}\right){\overset {{\frac {1}{2}}\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/2&0\\2&2&0&1\\\end{array}}\right){\overset {-2\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/2&0\\0&2&-1&1\\\end{array}}\right){\overset {{\frac {1}{2}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&1/2&0\\0&1&-1/2&1/2\\\end{array}}\right),$$ 우리는 $A^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&0\\-1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$임을 알 수 있다.

이미 앞서 $C={\begin{pmatrix}1&3\\4&12\\\end{pmatrix}}$가 비가역적이라는 것을 증명했다. 이제 $(C|I_{2})$를 $B=C^{-1}$인 $(I_{2}|B)$로 전환하는 것이 불가능함을 보이자. 기본 행연산들로 연산하면: $$\left({\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\4&12&0&1\\\end{array}}\right){\overset {-4\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&0&-4&1\\\end{array}}\right){\overset {-{\frac {1}{4}}\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\0&0&1&-1/4\\\end{array}}\right){\overset {-\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{\to }}\left({\begin{array}{cc|cc}1&3&0&1/4\\0&0&1&-1/4\\\end{array}}\right)$$ 마지막 행렬은 RREF다. 우리는 첫번째 기본 행 연산을 통해 $(2,1)$의 성분을 0으로 만드는 것을 봤고, $(2,2)$ 또 성분또한 0으로 만들었다. 따라서 이것은 어떤 변환으로든 만드는 것이 불가능하다.

행렬식

이제 우리는 정사각행렬의 몇몇 성질을 바꾼 것을 더한 행렬식에 대해서 논할 수 있습니다.

정의 3. 3. (행렬식)

$A=(a_{ij})$를 $n\times n$ 행렬이라고 하자. $A$의 행렬식은 $\det A$나 $|A|$와 같이 쓰고, 이것은 재귀적으로 다음과 같이 정의한다:

• $n=1$일 때 행렬식은 $\det A=a_{11}$로 정의한다.
• $n\geq 1$일 때, 각각의 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬에 대한 행렬식을 정의를 이미 내렸다고 가정하자. $A_{ij}$는 $A$에서 $i$행과 $j$열을 뺀 $(n-1)\times (n-1)$ (부분)행렬이라 하자. 그리고 이에 대한 여인수 $c_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$를 정의하자. 그러면 행렬식은

$$\det A=a_{11}c_{11}+a_{12}c_{12}+\cdots +a_{1n}c_{1n}.$$

와 같이 정의한다.

참고

• 소행렬은 부분(정사각)행렬의 행렬식이다.
• 모든 여인수로 구성된 행렬 $(c_{ij})$은 여인수행렬이라고 부른다.
• $n\geq 2$에서의 정의는 첫번째 행을 따라서 여인수 전개(혹은 라플라스 전개)한 것이라고도 부른다.
• 다르게 표현하면 ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\\\end{vmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$으로 표현할 수 있고, 크기가 다른 행렬에 대해서도 비슷한 표현이 있다.
• 여인수의 부호는 교대로 나온다. 행렬의 각각의 위치에서의 성분에 대한 여인수의 부호는 다음과 같다:

$${\begin{pmatrix}+&-&+&-&\cdots \\-&+&-&+&\cdots \\+&-&+&-&\cdots \\-&+&-&+&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}},$$

마치 체스판처럼 생긴 모양이다.

• 우리는 이 여인수의 부호모양을 나타내는 행렬에서 주대각선에 위치한 여인수는 항상 양수인 것을 볼 수 있다.
• 이는 주대각선은 $i$행과 $j$열의 $i$와 $j$가 같아서 $(-1)^{i+j}=(-1)^{2i}=1^{i}=1$이 되기 때문이다.

• ( $3\times 3$행렬에서의 $i$행과 $j$열을 지운 행렬$A_{ij}$ 예시)

$${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}{\color {red}{\cancel {a_{11}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{12}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{13}}}}\\{\color {red}{\cancel {a_{21}}}}&a_{22}&a_{23}\\{\color {red}{\cancel {a_{31}}}}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}{\cancel {a_{11}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{12}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{13}}}}\\a_{21}&{\color {red}{\cancel {a_{22}}}}&a_{23}\\a_{31}&{\color {red}{\cancel {a_{32}}}}&a_{33}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\color {red}{\cancel {a_{11}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{12}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{13}}}}\\a_{21}&a_{22}&{\color {red}{\cancel {a_{23}}}}\\a_{31}&a_{32}&{\color {red}{\cancel {a_{33}}}}\\\end{pmatrix}},\\{\begin{pmatrix}{\color {red}{\cancel {a_{11}}}}&a_{12}&a_{13}\\{\color {red}{\cancel {a_{21}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{22}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{23}}}}\\{\color {red}{\cancel {a_{31}}}}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{11}&{\color {red}{\cancel {a_{12}}}}&a_{13}\\{\color {red}{\cancel {a_{21}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{22}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{23}}}}\\a_{31}&{\color {red}{\cancel {a_{32}}}}&a_{33}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&{\color {red}{\cancel {a_{13}}}}\\{\color {red}{\cancel {a_{21}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{22}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{23}}}}\\a_{31}&a_{32}&{\color {red}{\cancel {a_{33}}}}\\\end{pmatrix}},\\{\begin{pmatrix}{\color {red}{\cancel {a_{11}}}}&a_{12}&a_{13}\\{\color {red}{\cancel {a_{21}}}}&a_{22}&a_{23}\\{\color {red}{\cancel {a_{31}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{32}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{33}}}}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{11}&{\color {red}{\cancel {a_{12}}}}&a_{13}\\a_{21}&{\color {red}{\cancel {a_{22}}}}&a_{23}\\{\color {red}{\cancel {a_{31}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{32}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{33}}}}\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&{\color {red}{\cancel {a_{13}}}}\\a_{21}&a_{22}&{\color {red}{\cancel {a_{23}}}}\\{\color {red}{\cancel {a_{31}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{32}}}}&{\color {red}{\cancel {a_{33}}}}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

예시 ($2\times 2$ 행렬의 행렬식과 $3\times 3$행렬의 행렬식의 공식)

$${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}=a_{11}\underbrace {\det(a_{22})} _{a_{22}}-a_{12}\underbrace {\det(a_{21})} _{a_{21}}={\color {green}a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$ 그리고 $${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}=+a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}$$

$3\times 3$ 행렬에 대한 행렬식 공식으로 아주 유용한 공식이 있습니다. 사루스의 법칙으로 공식은 다음과 같습니다:

명제 (사루스의 법칙)

$3\times 3$행렬에 대해서 다음 그림에서 보여주는 방식을 따라서 계산할 수 있다: , 빨간색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 양의 값으로, 파란색 화살표는 이어지는 것끼리 곱해서 음의 값으로 더하는 것이다. 좀 더 명확하게 하기 위해서 값을 그림 속의 값을 풀어쓰면 $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}$이다.

증명:

우리는 이미 예제로 했다. 또 하자고?

비록 사루스의 법칙을 직접적으로 사용할 수 없지만, 간접적인 방식으로 $4\times 4$ 행렬의 행렬식을 계산할 수 있습니다.

예시 $${\begin{vmatrix}2&1&0&0\\3&2&5&6\\2&0&2&2\\9&8&7&6\\\end{vmatrix}}=2{\begin{vmatrix}2&5&6\\0&2&2\\8&7&6\\\end{vmatrix}}+0-0-1{\begin{vmatrix}3&5&6\\2&2&2\\9&7&6\\\end{vmatrix}}=2[2(2)(6)+5(2)(8)+0(7)(6)-6(2)(8)-5(0)(6)-2(7)(2)]-2[3(2)(6)+5(2)(9)+2(7)(6)-6(2)(9)-5(2)(6)-2(7)(3)]=-40$$

명제 (항등행렬과 영행렬의 행렬식)

영행렬의 행렬식은 $0$이고, 항등행렬의 행렬식은 $1$이다.

증명:

• $\det O=0\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots +0\cdot c_{1n}$
• $\det I_{n}=1\cdot c_{11}+0\cdot c_{12}+\cdots +0\cdot c_{1n}=c_{1}1=\det I_{n-1}$ (첫번째 행과 첫번째 열을 뺀 $I_{n}$의 부분행렬은 $I_{n-1}$이다.)

• 따라서 귀납적으로 $\det I_{n}=\det I_{n-1}=\cdots =\underbrace {\det I_{1}=1} _{\text{by definition}}$이다.

여기에 더해서 임의의 행에 대해서 여인수 전개를 사용하여 다음 정리를 따라 행렬식을 계산할 수 있습니다.

정리 (여인수 전개 정리)

$A=(a_{ij})$를 $n\times n$ 행렬이라 하고, $c_{ij}$를 여인수라고 하자. 그러면 각각의 자연수 $i,j$에 대해 $$\det A=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2}+\cdots +a_{in}c_{in}$$ 이고 $$\det A=a_{1j}c_{1j}+a_{2j}c_{2j}+\cdots +a_{nj}c_{nj}$$ 이다.

참고

• 첫번째 공식은 $i$행을 따라 여인수 전개한 것이고, 두번째 공식은 $j$열을 따라 여인수 전개한 것이다.

일반적인 경우에 대해서 이것을 증명하는 것은 복잡하므로 넘어가겠습니다.

예시 (여인수 전개 정리에 대한 그림)

$${\begin{vmatrix}2&{\color {green}0}&2&2\\1&{\color {green}0}&2&3\\3&{\color {green}4}&4&5\\8&{\color {green}0}&7&6\end{vmatrix}}=-4{\begin{vmatrix}2&2&2\\1&2&3\\8&7&6\\\end{vmatrix}}=-4[2(2)(6)+2(3)(8)+2(1)(7)-2(2)(8)-2(1)(6)-3(7)(2)]=0.$$ 우리는 여기서 2열에 대해서 여인수 전개를 하였다.

이제 우리는 계산을 위한 간단한 몇가지 행렬의 성질을 논할 수 있습니다.

명제 (기본 행 연산을 할 때의 행렬식의 변화)

$A$를 정사각행렬이라 하자.

• (치환) $A$의 두 행을 바꿀 때, 행렬식은 $-1$를 곱한다.
• (스칼라 곱셈) $A$의 한 행에 $0$이 아닌 상수 $k$를 곱할 때, 행렬식은 $k$를 곱한다.
• (덧셈) $A$의 한 행에 다른 행을 곱한 것을 더할 때, 행렬식에는 변화가 없다.

증명

설명:

• (치환)예시

$${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}&={\color {green}a_{11}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {green}a_{12}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {green}a_{13}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}&=-{\color {green}a_{11}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {green}a_{12}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {green}a_{13}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$$

• (스칼라 곱셈)예시

$${\begin{vmatrix}{\color {green}ka_{11}}&{\color {green}ka_{12}}&{\color {green}ka_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}={\color {green}ka_{11}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {green}ka_{12}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {green}ka_{13}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}=k\left({\color {green}a_{11}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {green}a_{12}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {green}a_{13}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\right)=k{\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}$$

• (덧셈)예시

$${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}+{\color {blue}ka_{21}}&{\color {green}a_{11}}+{\color {blue}ka_{22}}&{\color {green}a_{11}}+{\color {blue}ka_{22}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}&=({\color {green}a_{11}}+{\color {blue}ka_{21}}){\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-({\color {green}a_{12}}+{\color {blue}ka_{22}}){\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+({\color {green}a_{13}}+{\color {blue}ka_{23}}){\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&=\underbrace {{\color {green}a_{11}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {green}a_{12}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {green}a_{13}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}} _{\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}+\underbrace {{\color {blue}ka_{21}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}ka_{22}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {blue}ka_{23}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}} _{\begin{vmatrix}{\color {blue}ka_{21}}&{\color {blue}ka_{22}}&{\color {blue}ka_{23}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}+{\color {blue}k}\underbrace {\begin{vmatrix}{\color {blue}a_{21}}&{\color {blue}a_{22}}&{\color {blue}a_{23}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}} _{0}\\&={\begin{vmatrix}{\color {green}a_{11}}&{\color {green}a_{12}}&{\color {green}a_{13}}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$$

참고

• 스칼라 곱셈과 관련된 성질에서 $k$가 0일 수 있고, 그 때의 행렬식도 0을 곱한 것과 같다. 물론 $k$를 곱할 때 $k=0$이면 스칼라 곱셈에 해당하지 않는다.
• 두개의 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이다. 아래의 따름정리에 따라 치환의 결과로 알 수 있다.
• 이 명제의 관점에서 우리는 좀 더 쉽게 행렬식을 계산하는 전략을 세울 수 있다:

• 스칼라 곱셈을 통해 공약수를 꺼내 성분들의 숫자를 줄여 계산을 쉽게한다.
• 덧셈을 성분들을 더 많이 $0$으로 바꾼다.
• 여인수 전개를 $0$이 많은 행 또는 열에 대해서 사용한다.

• 명제에서 언급한 기본 행연산 말고도 기본 '열'연산에도 적용할 수 있다.

• 이는 전치행렬의 행렬식이 원래 행렬의 행렬식과 같기 때문이다.(행렬식의 성질에 관한 명제에서 언급할 것이다.)
• 그래서 다양한 관점에서 연산을 살펴보면 기본 열연산을 적용하는 것은 근본적으로 기본 행연산을 적용하는 것과 같다.

• 기본 열연산들을 기본 행연산에서의 $\mathbf {r}$ (행)을 $\mathbf {c}$ (열)로 바꿔 비슷한 표현을 얻을 수 있다.

예시 (방데르몽드 행렬)

$${\begin{vmatrix}1&a&a^{2}\\1&b&b^{2}\\1&c&c^{2}\\\end{vmatrix}}{\overset {-\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{2}}{\overset {-\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} _{3}\to \mathbf {r} _{3}}{=}}}{\begin{vmatrix}1&a&a^{2}\\0&b-a&b^{2}-a^{2}\\0&c-a&c^{2}-a^{2}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b-a&(b-a)(b+a)\\c-a&(c-a)(c+a)\end{vmatrix}}=(b-a)(c-a){\begin{vmatrix}1&b+a\\1&c+a\\\end{vmatrix}}=(b-a)(c-a)(c+a-b-a)=(b-a)(c-a)(c-b)$$

따름정리

두 개의 행이 같은 정사각행렬의 행렬식은 $0$이다.

증명

$A$를 두 개의 행이 같은 정사각행렬이라 하자. $A$의 같은 두 개의 행을 바꿔도 여전히 행렬은 바뀌지 않는다. 그러나 두 개의 행렬식은 $-1$을 곱한 값이다. 즉, $$\det A=-\det A\Leftrightarrow 2\det A=0\Leftrightarrow \det A=0.$$ 이것은 정의나 귀납법으로도 증명이 가능하다.

이제 행렬의 가역성을 정하는 간편한 방법을 소개합니다. 그 전에 다음 보조정리 먼저 살펴봅시다.

보조정리

각각의 기본행렬 $E$와 $A$에 대해, $$\det(EA)=(\det E)(\det A).$$

증명

• (치환: $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$) $\det E=-1$ 그리고 $\det(EA)=-\det A=(\det E)(\det A)$ (행들을 바꿨기 때문)
• (스칼라 곱셈: $k\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$) $\det E=k$ 그리고 $\det(EA)=k\det A=(\det E)(\det A)$ (행에 $0$이 아닌 상수를 곱했기 때문)
• (덧셈: $k\mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{i}\to \mathbf {r} _{i}$) $\det E=1$ 그리고 $\det(EA)=\det A=(\det E)(\det A)$ (한 행에 다른 행의 곱을 더했기 때문)

정리 (행렬식을 통한 가역성 결정)

정사각행렬은 행렬식이 $0$이 아닐 때만 가역적이다.

증명

• '행렬식이 0일 때 가역적'인 부분: 간략화한 가역행렬의 기본정리를 통해 행렬$A$는 $A$와 똑같은 가역행렬이면서 기본행렬들의 곱이다. 이를 기본행렬 $E_{1},\ldots ,E_{k}$를 통해 나타내면,

$${\begin{aligned}&&A&=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}\\&\Rightarrow &\det A&=(\det E_{1})\det(\underbrace {E_{2}E_{3}\cdots E_{k}} _{\text{a matrix}})\quad ({\text{not }}\Leftrightarrow {\text{ since determinant function is many-to-one}})\\&&&=(\det E_{1})\det(E_{2})\det(E_{3}\cdots E_{k})\\&&&=\cdots \\&&&=(\det E_{1})\det(E_{2})\cdots (\det E_{k})\end{aligned}}$$

• '가역적이면 행렬식이 0'인 부분: 기본행렬 $E_{1},\ldots ,E_{k}$에 대해 $A=E_{1}\cdots E_{k}R$, $R$을 $A$의 RREF라고 하자. 이는 다음을 함의한다.

$$\det A=(\det E_{1})\cdots (\det E_{k})(\det R).$$

$\det A\neq 0$이므로 $\det R\neq 0$이다. 따라서 $R$는 모든 성분이 $0$인 행을 가지지 않는다.(그런 행을 가지면 행렬식은 0이어야 할 것이다.) $R$는 RREF이므로 이는 $R=I$임을 의미한다. ($R$는 정사각행렬이므로, 모든 열이 선행성분을 갖는 것은 아니면, RREF에 의해 뒤쪽의 행에 적어도 하나는 모든 성분이 $0$인 행이 존재한다.) 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해 $A$는 가역적이다.

이 결과를 얻고 나서, 행렬식을 쉽게 계산할 수 있는 행렬식의 성질을 말할 수 있습니다.

명제 (행렬식의 성질)

$A$와 and $B$를 같은 크기의 정사각행렬이라고 하자. 그럼 다음을 따른다.

• (곱셈) $\det(AB)=(\det A)(\det B)$
• (전치 후의 행렬식 불변) $\det(A^{T})=\det A$
• (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수) $\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}$

증명

• (곱셈) $E_{1},\ldots ,E_{k}$를 기본행렬이라고 하고, $R$을 $A$의 RREF라고 할 때 $A=E_{1}\cdots E_{k}R$를 생각하자.

$$\det(A{\color {green}B})=(E_{1}\cdots E_{k}R{\color {green}B})=(\det E_{1})\cdots (\det E_{k})\det(R{\color {green}B}),$$

그리고

$$(\det A)(\det {\color {green}B})=(\det E_{1})\cdots (\det E_{k})(\det R)(\det {\color {green}B}).$$

• 이제, $\det(RB)=(\det R)(\det B)$임을 증명하는 것이 남아있다.
• $R=I$이면, $\det(RB)=\det B=(\det R)(\det B)$이다.
• $R\neq I$이면, $R$의 마지막행은 모든 성분이 $0$이고, 따라서 $\det R=0=(\underbrace {\det R} _{0})(\det B)$

• $RB$의 마지막 행 역시 모든 성분이 $0$이며, 따라서 $\det(RB)=0=(\det R)(\det B)$이다.

• (전치 후의 행렬식 불변) 여인수 전개 정리와 귀납법을 통해 증명할 수 있을 것이다. 예)

${\begin{vmatrix}{\color {green}1}&{\color {green}2}&{\color {green}3}\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}$ vs. ${\begin{vmatrix}{\color {green}1}&4&7\\{\color {green}2}&5&8\\{\color {green}3}&6&9\\\end{vmatrix}}$

• (역행렬의 행렬식과 행렬식의 역수) 곱셈을 사용하여,

$$AA^{-1}=I\implies (\det A)(\det(A^{-1}))=\det I=1\implies \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}$$ ($A$는 가역적이므로 $\det A\neq 0$)

예시

행렬 $A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\\\end{pmatrix}}$를 생각하자. $$\det A{\overset {-2\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} _{3}+\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{1}}{=}}{\begin{vmatrix}0&0&0&0\\2&3&4&5\\3&4&5&6\\4&5&6&7\\\end{vmatrix}}=0$$이므로, $A$는 비가역적이다. 간략화한 가역행렬의 기본정리에 의해, 다음과 같은 결과를 지닌다:

• homogeneous 선형 연립방정식 $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$은 자명한 해만을 가지지 않는다.
• $A$의 RREF는 항등행렬 $I$가 아니다.
• $A$는 기본 행렬들의 곱으로 표현될 수 없다.

이제, 역행렬의 연산과 관련된 주목할만한 결과를 가지고 있는 수반행렬에 대해서 소개할 수 있을 것 같습니다.

정의 3. 4. (수반행렬(adjugate matrix))

$A$를 $n\times n$ 행렬이라 하자. $A$의 수반행렬은 $\operatorname {adj} A$로 표기하고, 이 행렬은 $(i,j)$번째 성분이 여인수 $c_{ji}$인 $n\times n$ 행렬이다.

참고

• $\operatorname {adj} A$는 $A$의 여인수 행렬의 전치행렬이다. 즉, $\operatorname {adj} A=(c_{ij})^{T}$

• 이는 수반행렬을 계산하는데 더 자주 쓰이는 방법이다.

정리 (행렬식과 수반행렬의 관계)

$A$를 $n\times n$ 행렬이라고 하자. 그러면, $$A(\operatorname {adj} A)=(\operatorname {adj} A)A=(\det A)I_{n}$$이다.

증명은 복잡하므로 넘깁니다.

따름 정리 (역행렬 공식)

$A$가 가역적이면, 그 역행렬은 $$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A$$로 주어진다.

증명 $$A(\operatorname {adj} A)=(\det A)I_{n}\Leftrightarrow A\left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)=I_{n}\Leftrightarrow A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A$$

예시 ($2\times 2$ 행렬의 역행렬 공식)

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$라 하자. 따라서 $$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A={\frac {1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}a_{22}&(-1)^{1+2}a_{21}\\(-1)^{2+1}a_{12}&(-1)^{2+2}a_{11}\end{pmatrix}}^{\color {green}T}={\frac {1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}}{\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}}$$이다. 즉, $2\times 2$행렬의 역행렬을 찾기 위해서는 $(1,1)$와 $(2,2)$번째 성분을 서로 바꾸고 $(1,2)$번째와 $(2,1)$번째 성분에 $-1$를 곱하고(이 때는 서로를 안 바꿈) 행렬식의 역수를 곱함으로써 구할 수 있다.

예시 (비가역행렬의 수반행렬)

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\3&4&5\\\end{pmatrix}}$를 생각하자. 그러면 $$\operatorname {adj} A={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}2&3\\4&5\\\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\3&5\\\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2&3\\4&5\\\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&3\\3&5\\\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}2&3\\2&3\\\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\1&3\\\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\1&2\end{vmatrix}}\\\end{pmatrix}}^{\color {green}T}={\begin{pmatrix}-2&4&-2\\2&-4&2\\0&0&0\\\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}-2&2&0\\4&-4&0\\-2&2&0\\\end{pmatrix}}$$이다. 또한, $$A(\operatorname {adj} A)=(\operatorname {adj} A)A=O=\det A(I_{3})=0(I_{3})$$이다.

이제, 마지막으로, 크라메르 공식이라는 이름이 붙은 선형 연립방정식의 유일한 해를 직접적으로 계산하는 방법을 소개하겠습니다.

정리 (크라메르 공식)

Let $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$를 $n\times n$가역행렬 $A$와 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{T}$(열을 표현하기에는 자리 차지가 심하므로 $1\times n$ 행렬의 전치인 ${\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{T}$ 표현을 사용할 것이다.)에 대한 선형 연립방정식이라 하자. 또, $\Delta =\det A$라고 표현하고, $\Delta _{k}$를 각각의 $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$에 대하여 $A$의 $k$열을 열 $\mathbf {b}$로 대체한 행렬식이라 하자. 선형 연립방정식의 유일한 해는 다음과 같이 주어진다. $$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},{\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ldots ,{\frac {\Delta _{n}}{\Delta }}\right)$$

증명

$A$가 가역적이므로, 선형 연립방정식의 유일한 해는 $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b}$이다. 역행렬 공식을 사용하면 $$A^{-1}\mathbf {b} ={\frac {1}{\Delta }}(\operatorname {adj} A)\mathbf {b} .$$를 얻는다. 따라서 각각의 $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$에 대하여, $$x_{k}={\frac {1}{\Delta }}(c_{1k}b_{1}+c_{2k}b_{2}+\cdots +c_{nk}b_{n})={\frac {\Delta _{k}}{\Delta }}$$ ($c_{1k},c_{2k},\ldots ,c_{nk}$는 $\operatorname {adj} A$의 $k$행 위의 성분이고(그리고 $A$의 여인수 행렬의 $k$열 위의 성분이기도 하다.), 따라서 위와 같이 성분을 곱하면 $x_{k}$라고 하는 $\mathbf {x}$의 $(k,1)$성분을 얻는다.

예시

선형 연립방정식 $${\begin{cases}x+2y+3z&=1\\3x+6y+4z&=0\\2+9y+2z&=0\\\end{cases}}$$ 을 고려하자. $${\begin{aligned}\Delta &={\begin{vmatrix}1&2&3\\3&6&4\\2&9&2\\\end{vmatrix}}=25,\\\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}1&2&3\\0&6&4\\0&9&2\\\end{vmatrix}}=-24,\\\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}1&1&3\\3&0&4\\2&0&2\\\end{vmatrix}}=2,\\\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}1&2&1\\3&6&0\\2&9&0\\\end{vmatrix}}=15\end{aligned}}$$이므로 이 선형 연립방정식의 유일한 해는 $$(x,y,z)=\left({\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},{\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},{\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}\right)=\left(-{\frac {24}{25}},{\frac {2}{25}},{\frac {15}{25}}\right)=\left(-{\frac {24}{25}},{\frac {2}{25}},{\frac {3}{5}}\right)$$이다.