행렬을 이용하는 가장 중요한 이유 중 하나는 선형 연립방정식을 풀기 위한 것입니다. 몇몇 정의를 따라가다보면 아예 선형 연립방정식을 풀기 위해서 설계되었다고 볼 수도 있을겁니다.
m 행과 n 열로 구성된 행렬.
정의 1. 1. 행렬
행렬은 숫자들의 직사각형 배열이다. 수직 단위를 행 (行)이라 하고, 수평단위들을 열 (列)이라 한다.
행렬 속 성분은 좌표로 나타낼 수 있으며
i
{\displaystyle \color {blue}i}
j
{\displaystyle \color {red}j}
(
i
,
j
)
{\displaystyle ({\color {blue}i},{\color {red}j})}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
M
m
×
n
(
R
)
{\displaystyle M_{m\times n}(\mathbb {R} )}
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
A
{\displaystyle A}
1
≤
i
≤
m
⏟
행의 개수
{\displaystyle 1\leq i\leq \underbrace {m} _{\text{행의 개수}}}
1
≤
j
≤
n
⏟
열의 개수
{\displaystyle 1\leq j\leq \underbrace {n} _{\text{열의 개수}}}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
참고
다시 말해서, 두 행렬이 같은 크기와 같은 성분을 지니고 있다면 두 행렬은 같다.
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
≠
B
{\displaystyle A\neq B}
틀:예제
틀:예제
틀:숨김
행렬의 행과 열의 개수가 같은 특별한 경우에 행렬은 좋은 성질들을 가집니다. 이런 종류의 행렬에 대해서 정사각행렬이라고 정의합니다.
정의 1. 3. 정사각행렬
정사각행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬이다.
또, 특정한 상황에서 요긴하게 쓰이는 주대각성분이라는 것에 대해서도 정의할 수 있습니다.
예시
행렬
I
3
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle I_{3}={\begin{pmatrix}{\color {green}1}&0&0\\0&{\color {green}1}&0\\0&0&{\color {green}1}\end{pmatrix}}}
1
,
1
{\displaystyle 1,1}
1
{\displaystyle 1}
참고
예제의
I
3
{\displaystyle I_{3}}
그리고 우리는 주대각성분에 관련한 정의에 의한 어떤 종류의 행렬을 정의할 수 있습니다.
정의 1. 5. 삼각행렬
삼각행렬은 위삼각행렬이거나 아래삼각행렬이다.(포괄적)
위삼각행렬은 주대각성분의 아래쪽이 전부
0
{\displaystyle 0}
아래삼각행렬은 주대각성분의 위쪽이 전부
0
{\displaystyle 0}
참고
동등하게 그리고 상징적으로, 행렬
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
i
>
j
{\displaystyle i>j}
a
i
j
=
0
{\displaystyle a_{ij}=0}
i
<
j
{\displaystyle i<j}
a
i
j
=
0
{\displaystyle a_{ij}=0}
이 삼각행렬들의 형태는 다음과 같다.
(
∗
∗
∗
⋯
∗
0
∗
∗
⋯
∗
0
0
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
∗
0
0
⋯
0
∗
)
⏟
위삼각행렬
and
(
∗
0
⋯
0
0
∗
∗
0
⋯
0
∗
∗
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
0
∗
∗
⋯
∗
∗
)
⏟
아래삼각행렬
{\displaystyle \underbrace {\begin{pmatrix}*&*&*&\cdots &*\\0&*&*&\cdots &*\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&0&\cdots &0&*\end{pmatrix}} _{\text{위삼각행렬}}\quad {\text{and}}\quad \underbrace {\begin{pmatrix}*&0&\cdots &0&0\\*&*&0&\cdots &0\\*&*&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\*&*&\cdots &*&*\end{pmatrix}} _{\text{아래삼각행렬}}}
∗
{\displaystyle *}
정의 1. 6. 대각행렬
대각행렬은 정사각행렬이면서 주대각성분이 아닌 모든 성분이
0
{\displaystyle 0}
참고
대각행렬은 위삼각행렬이자 아래삼각행렬이다.
대각행렬의 형태는 다음과 같이 나타난다.
(
∗
0
0
⋯
0
0
∗
0
⋯
0
0
0
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
0
0
0
0
⋯
∗
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}*&0&0&\cdots &0\\0&*&0&\cdots &0\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&\cdots &*\end{pmatrix}}}
∗
{\displaystyle *}
틀:예제
마지막으로 가끔씩 쓰이는 부분행렬을 정의하겠습니다.
정의 1. 7. 부분행렬
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
참고
관습적으로 모든 행렬은 자신의 부분행렬이다.
틀:예제
이 파트에서는 다양한 행렬 연산에 대해 다룰 것입니다. 행렬 곱셈 같은 일부 연산은 기존의 수체계에서의 연산과 많이 다릅니다.
정의 1. 8. 행렬의 덧셈과 뺄셈
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}}
B
=
(
b
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle B=(b_{ij})_{m\times n}}
A
±
B
=
(
a
i
j
±
b
i
j
)
m
×
n
.
{\displaystyle A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})_{m\times n}.}
정의 1. 9. 행렬의 스칼라곱
행렬
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A=(a_{ij})_{m\times n}}
c
A
=
(
c
a
i
j
)
m
×
n
.
{\displaystyle cA=(ca_{ij})_{m\times n}.}
행렬 곱셈을 나타낸 그림 이와 달리, 정사각행렬의 거듭제곱은 기존의 수 체계와 꽤나 비슷하게 정의됩니다.
틀:예제
그리고 수 체계에서 0에 해당하는 행렬인 영행렬과 1에 해당하는 항등행렬을 논해보겠습니다.
정의 1. 12. 영행렬
영행렬은 모든 성분이
0
{\displaystyle 0}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
O
m
×
n
{\displaystyle O_{m\times n}}
O
{\displaystyle O}
참고
영행렬은 수 체계에서의 숫자
0
{\displaystyle 0}
어떤 행렬
A
{\displaystyle A}
O
+
A
=
A
+
O
=
A
{\displaystyle O+A=A+O=A}
곱셈이 잘 정의되어 있다면 모든 행렬
A
{\displaystyle A}
O
A
=
A
O
=
O
{\displaystyle OA=AO=O}
참고
항등행렬은 수 체계에서의 숫자
1
{\displaystyle 1}
A
{\displaystyle A}
A
I
=
I
A
=
A
{\displaystyle AI=IA=A}
예시
영행렬
O
2
×
1
{\displaystyle O_{2\times 1}}
(
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}
항등행렬
I
2
{\displaystyle I_{2}}
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
성질(행렬 연산의 성질)
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
c
{\displaystyle c}
(i) (행렬 곱셈의 결합법칙)
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
{\displaystyle (AB)C=A(BC)}
(ii) (숫자 0과 1의 역할)
A
O
=
O
,
O
B
=
O
,
A
I
=
A
,
I
B
=
B
{\displaystyle AO=O,\,OB=O,\,AI=A,\,IB=B}
(iii) (행렬 곱셈의 분배법칙)
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
⏟
왼쪽 분배법칙
,
(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C
⏟
오른쪽 분배법칙
{\displaystyle \underbrace {A(B+C)=AB+AC} _{\text{왼쪽 분배법칙}},\,\underbrace {(A+B)C=AC+BC} _{\text{오른쪽 분배법칙}}}
(iv)
c
(
A
B
)
=
(
c
A
)
B
=
A
(
c
B
)
{\displaystyle c(AB)=(cA)B=A(cB)}
참고
행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다. 일반적으로 행렬곱
A
B
{\displaystyle AB}
B
A
{\displaystyle BA}
또, 수 체계에서는 존재하지 않는 연산인 전치(transpose)에 대해서 소개하겠습니다.
정의 1. 14. 행렬의 전치
행렬
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
{\displaystyle A=(a_{{\color {purple}i}{\color {green}j}})_{{\color {blue}m}\times {\color {red}n}}}
A
{\displaystyle A}
A
T
=
(
a
j
i
)
n
×
m
{\displaystyle A^{T}=(a_{{\color {green}j}{\color {purple}i}})_{{\color {red}n}\times {\color {blue}m}}}
참고
정의를 따라서
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
이 예시를 표현한 그림.
예시
(
1
2
3
4
5
6
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}}
A
{\displaystyle A}
A
T
=
(
1
2
3
4
5
6
)
T
=
(
1
3
5
2
4
6
)
and
(
A
T
)
T
=
(
1
3
5
2
4
6
)
T
=
(
1
2
3
4
5
6
)
=
A
.
{\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \left(A^{T}\right)^{T}={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}=A.}
성질(전치행렬의 성질)
연산이 잘 정의된 행렬
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(i) (자기반전성 혹은 가역성)
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}
(ii) (선형성) 모든 실수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
A
+
b
B
)
T
=
a
A
T
+
b
B
T
.
{\displaystyle (aA+bB)^{T}=aA^{T}+bB^{T}.}
(iii)
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \color {green}(AB)^{T}=B^{T}A^{T}}
5
×
5
{\displaystyle 5\times 5}
정의 1. 15. 대칭행렬
행렬
A
{\displaystyle A}
A
T
=
A
.
{\displaystyle A^{T}=A.}
A
{\displaystyle A}
정의 1. 16. 반대칭행렬
행렬
A
{\displaystyle A}
A
T
=
−
A
.
{\displaystyle A^{T}={\color {green}-}A.}
A
{\displaystyle A}
성질(대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건)
대칭과 반대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야 한다.
전치에서 행과 열이 서로 자리를 바꾸기 때문에 원래행렬과 전치행렬의 크기가 서로 같으려면 정사각행렬인 경우 밖에 없다는 관찰을 통해 알 수 있다.
참고
그렇다고 이것은 모든 정사각행렬이 대칭행렬이거나 반대칭행렬이라는 뜻은 아니다.
행렬이 정사각행렬이어야 한다는 것은 대칭행렬과 반대칭행렬의 필요조건이지, 충분조건이 아니다.
예시
(
1
2
3
2
8
4
3
4
5
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&8&{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&5\end{pmatrix}}}
(
0
2
−
3
−
2
0
−
4
3
4
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&{\color {blue}2}&-{\color {red}3}\\-{\color {blue}2}&0&-{\color {green}4}\\{\color {red}3}&{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}}
(
0
−
2
3
2
0
4
−
3
−
4
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-{\color {blue}2}&{\color {red}3}\\{\color {blue}2}&0&{\color {green}4}\\-{\color {red}3}&-{\color {green}4}&0\end{pmatrix}}}
