수학의 표현

수학의 표현

수학은 직관적이고 단순한 것부터 시작해서 추상적이고 복잡한 것까지 다양한 것들을 담고있는 지식체계입니다. 말을 통해 이어져 내려오던 수학은 세월을 거치면서 점차 엄밀성에 기대고, 논리학에 기대면서 기호와 논리관계로 서술하게 되었습니다. 기호는 언어와는 달리 뜻이 변하지 않고, 그 뜻을 분명하게 전달하려는 목적에서 사용되지만, 약속된 뜻을 받아들이기도 전에 접하게 된다면 처음보는 언어처럼 난해하게 보입니다.

이 책은 수학의 서술방식이 낯선 사람들을 위해 만들어졌습니다. 수학 기호와 그것의 쓰이는 술어논리에 대해 설명하는 것을 목표로 합니다. 수체계와 집합을 안다는 전제로 쓰여졌습니다.

고대의 숫자

수의 시작

현재까지 발굴된 가장 오래된 수를 표현하는 유물은 뼈다. 이상고 뼈나 레봄보 뼈와 같이 수 만년 전, 언어가 등장하기 전부터 수를 표현하려는 시도가 있어왔다. 그 외에도 양치기가 항아리에 돌을 넣는 식으로 양을 세는데 쓰거나, 산가지를 사용해 수를 막대로 표현하는 등, 수를 표현하는 유물은 문명시대 이후에도 쉽게 볼 수 있고, 굳이 문명시대가 아니더라도 생활과 밀접하게 관련된 수는, 그것을 표현하는데 여러방법들이 쓰였을 것이라 유추할 수도 있다.

고대문명의 등장하고, 언어가 등장함에 따라 수는 문자로 편입되었다. 고대 이집트 문명의 신성문자나, 바빌로니아의 쐐기문자, 갑골문에 나오는 갑골 문자 등 언어를 문자로 표현한 문명들에서 숫자는 문자의 일부로 받아들여졌다.

숫자를 표현하는데 있어서는 문명 각자의 방식을 사용하였다. 예컨대, 현재 우리는 하나부터 아홉까지는 같은 자리수에 숫자를 넣어서 표기하지만, 열의 경우 10처럼 다음 자리수를 하나 더 만들어 표현한다. 그러나 근대까지의 동아시아나, 근세까지의 유럽의 경우 각각 十, Ⅹ를 사용하여 표현하였다. 물론 이들도 십진법을 썼기 때문에, 가령 23을 표현하는 경우, 근대이전의 동아시아에서는 二十三으로, 근세이전의 유럽에서는 ⅡⅩⅢ으로 표현하였다. 또, 바빌로니아의 경우, 자릿수를 60마다 바꿨는데, 59까지는 한자리로 표현하고, 61은 (아라비아 숫자로 11)로 표현한다. 바빌로니아에서는 빈 칸을 통해서 자릿수를 표현하였다. 예컨대, 3601(1×60×60+1)의 경우 　처럼 한 칸을 띄워서 자릿수를 표현한 것이다.

분수도 하나의 숫자처럼 생각해 표현하는 경우가 있었다. 이집트의 경우 상형문자

아래에 숫자를 넣어 표현하였고, 바빌로니아의 쐐기 문자의 경우 앞을 비워두어 분수를 표현하였다. 그리스의 경우 그리스 알파벳을 숫자에 대응시켰는데, 소문자에 케라이아(')를 붙여서 표현했다.

연산의 표현

연산을 표현하는데 있어서는 말로 표현하거나, 때로는 생략해버렸다. 고대 그리스는 두 분수를 연달아 적으면 그것의 합을 나타냈다. 고대 중국을 포함한 한자 문화권에서는 분수를 표현할 때는 七分之四(4/7)처럼 分과 之이라는 한자를 통해 두 개의 관계를 표현했다.(이는 한국어의 '~분의 ~'라는 표현과 일치한다.) 이것은 위에서 언급한 숫자와는 달리, 하나의 연산으로 보는 경우다.

연산에는 따로 기호를 사용하지 않았다. 라틴어의 경우에 무엇을 더하다는 표현을 할 때 et(그리고)라는 표현을 사용하였고, 무엇을 뺄 때도 minus라는 표현을 사용하였다. 현재에 사용하고 있는 +나 - 같은 기호가 아닌, 말로 풀어서 그것을 표현한 것이다.

고대시대의 연산은 언어 안에 녹아들어 있었다.

기호의 등장

디오판토스의 기호

3세기의 헬레니즘 시대 수학자 디오판토스의 《산술》(Ἀριθμητικά)에서는 기호라고 볼 수 있는 여러가지 변형된 형식들이 등장한다. 대부분은 축약에 불과하지만, '부족분'을 나타내는 $\pitchfork$ 라는 문자는 언어를 표현하는데 쓰이지 않았던 기호였다. 이 기호에 대해서 디오판토스가 먼저 쓴 것이 아니라는 말도 존재하지만^[1] 어찌되었건, 수학사에서 기호가 등장한 중요한 순간이다. 디오판토스의 《산술》에서 나오는 특정한 형식의 문자는 다음과 같다.^[2]

기호	뜻
${\overline {\alpha }}$	1 (α는 고대 그리스어의 첫번째 문자)
${\overline {\beta }}$	2
${\overline {\varepsilon }}$	5
${\overline {\iota }}$	10 (현대 그리스어에서는 9번째 문자지만, 고대 그리스어에서는 10번째 문자였다.)
ἴ $^{\sigma }$	"같다." (ἴσος의 축약)
$\pitchfork$	부족분(마이너스)
$\zeta$	미지수 (ς라고 보기도 하고, 제타도 시그마도 아닌 독자적인 것이라고 보기도 한다. ς라고 보는 설에 따르면 ἀριϑμός의 맨 마지막 문자라고 한다.)
$\Delta ^{\upsilon }$	제곱인 미지수
$\mathrm {K} ^{\upsilon }$	세제곱인 미지수
$\Delta ^{\upsilon }\Delta$	네제곱인 미지수
$\Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }$	다섯제곱인 미지수
$\mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K}$	여섯제곱인 미지수
$\zeta ^{\mathrm {X} }$	${\frac {1}{x}}$ 처럼 역수인 미지수

디오판토스의 기호를 따라 현대식으로 적은 식을 바꿔보면 다음과 같다.

x^{2}+5x-2

\Rightarrow

\Delta ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\zeta {\overline {\varepsilon }}\pitchfork {\overline {\beta }}

재미있게도 디오판토스는 생애가 잘 알려지지 않은 사람이었는데, 왠지 모르겠지만 묘비명은 잘 알려져있다. 다음은 그의 묘비명이다. 디오판토스는 몇 살에 죽었을까?

신의 축복으로 태어난 그는 인생의 1/6을 소년으로 보냈다. 그리고 다시 인생의 1/12이 지난 뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다. 다시 1/7이 지난 뒤 그는 아름다운 여인을 맞이하여 화촉을 밝혔으며, 결혼한 지 5년 만에 귀한 아들을 얻었다. 아! 그러나 그의 가엾은 아들은 아버지의 반 밖에 살지 못했다. 아들을 먼저 보내고 깊은 슬픔에 빠진 그는 그 뒤 4년간 정수론에 몰입하여 스스로를 달래다가 일생을 마쳤다.

덧셈 기호와 뺄셈, 근호 그리고 등호

(지금까지 알려진 것들에 의하면)덧셈 기호 +는 역사 속에서 처음 등장하는 것은 1360년의 니콜라스 오렘이 집필한 《Algorismus proportionum》(비율의 알고리즘)이라고 한다.^[3] 추측하는 바로는 이 당시에 학술 언어로 자주 쓰이던 라틴어에서 '그리고'를 뜻하는 et이 축약되어서 만들어졌다. 뺄셈 기호 －는 1489년 요하네스 비트만(Johannes Widmann)이 만들었다고 한다.

등호 =는 로버트 레코드의 저서 《The Whetstone of Witte》(기지의 숫돌)에서 처음 등장하였다. 여기서 레코드가 사용한 등호는 우리가 현재 사용하는 것보다 길었으며, 이것이 의미하는 것은 두 개의 쌍둥이 평행선이었다. 로버트는 이 쌍둥이 평행선보다도 더 똑같은 것은 존재하지 않는다는 의미에서 이 기호를 사용했다.^[4]

물론 기호는 이렇게 등장했지만, 이것들이 자주 쓰이는 것들은 많은 시간이 지나고 나서다.

비에트 그리고 헤리엇

해석기하학과 미적분의 등장

집합론과 기호

기호의 사용

현대에서 쓰이는 기호는 19세기의 페아노 이후에 20세기 초, 수리논리학의 발전으로 정립되었다고 보아도 무방하다. 그리고 현대수학의 근간은 "집합"이기 때문에, 집합과 관련된 논리와 그것을 쉽게 표현하기 위한 기호들이 나온다. 따라서 집합기호들을 먼저 설명하고 싶지만, 그보다도 앞서 양화논리에 대해 먼저 짚고 넘어가야 한다.

삼단논법

결국엔 기호를 사용하는 것은 논리적인 구조를 그대로 이어가면서 짧게 축약하여 쓰고 싶어서 사용하는 것이다. 따라서, 기호를 사용하는 사람이 어떤 논리를 가지고 접근하는지에 대해서 살펴볼 필요가 있다.

먼저, 고대 그리스에서 정립된 논리 중 가장 널리 영향을 끼친 삼단논법을 살펴보자. 삼단논법은 연역적 추론을 나타내는 대표적인 논법이다. 연역이라고 함은, 기존에 있었던 진실들을 통해 타당한 결론을 도출하는 방법이다. 이를 위해서 보편적인 진실인 대전제와, 개별적인 진실인 소전제가 필요한데, 대표적인 예시로 다음과 같다.

모든 사람은 죽는다.(대전제), 소크라테스는 사람이다.(소전제)

대전제에서는 관심을 갖는 대상의 보편성이 있어야 하고, 소전제는 그 대전제에 해당되는 개별적인 사례여야 한다. 그리고, 이 두 가지를 합치면 자연스럽게 결론을 내릴 수 있게 된다.

모든 사람은 죽는다.(대전제)

소크라테스는 사람이다.(소전제)

따라서 소크라테스는 죽는다.(결론)

위의 논리구조에는 대전제와 소전제가 사실이라는 전제하에 논리적인 문제가 없다. 어떤 대상의 특성을 나타냈고, 그 특성이 가지고 있는 본성을 언급했으므로, 그 대상이 가지고 있는 본성을 추론한 것이다.

우리는 이것을 쓰는 것이 귀찮기 때문에 기호를 사용해서 표현할 것이다. 위의 문장에서 사람이라는 집합을 P라고 하고, 죽는다(죽게 되는 것들이 더 정확할지도 모른다.)를 Q라고 하자. 소크라테스를 s라고 하면 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

P→Q

s→P

∴s→Q

여기서 P→Q는 P이면 Q이다.라는 뜻을 지닌다. 모든 문장이 긍정적이지만, 부정하는 문장 역시도 생각해볼 수 있다. 예를 들어,

모든 사람은 죽는다.(대전제)

돌은 사람이 아니다.(소전제)

따라서 돌은 죽는 것이 아니다.(결론)

를 생각해볼 수 있다.(이 논증은 타당하지 않지만, 일단 이런 논증이 있다고 생각하자.) 이 경우 돌을 r이라고 하면 위의 문장은 다음과 같이 쓰여질 것이다.

P→Q

r→!P

∴r→!Q

여기서 !는 부정을 의미하는 기호로, 명제를 부정하는 것이다. !r이라고 쓰면 돌이 아닌 것을 지칭하는 것으로 볼 수 있다.

한발짝 더 나아가서, 우리는 모두와 일부를 구분할 필요가 있다. 한국인이 매운 것을 좋아한다는 명제로부터 모든 한국인이 매운 것을 좋아한다고 이끌어 낼 수 없듯이, 일부를 통해서 모든 것을 유추하는 것은 타당하지 않기 때문이다. 모두와 일부를 나타내는 것도 기호로 나타낼 수 있는데, 방금 말한 논증에서 어떤 한국인을 k, 매운 것을 좋아하는 사람을 L이라고 했을 때 다음과 같이 논증을 적을 수 있다.

\exists k\in L

\therefore \forall k\in L

여기서 $k\in L$ 는 "k는 L의 원소이다."를 말하고, $\exists$ 와 $\forall$ 은 각각 존재한다와 모든(혹은 어떤 것에 대해서도)라는 뜻을 지니고 있다. 더 자세히 말해서, $\exists$ 는 집단에서 하나라도 있으면 된다는 소리이고, $\forall$ 은 집단에서 하나라도 빠짐없이 있어야 된다는 소리이다. $\forall$ 은 이 논리를 그대로 따라서 '임의의' 하나를 뽑았을 때도 여전히 성립한다고 받아들이는 경우도 있다.

위의 것을 좀 더 명확하게 하기 위해서 k들의 집합을 다음과 같이 정의하자고 하자.

한국인={k|k는 한국국적을 가진 사람}

이것은 한국인이라는 집합을 k를 통해서 정의한 것이다. k를 한국국적을 가진 어떤 사람이라고 한다면, k는 언제나 한국인의 원소가 되는 것이다.

삼단 논법의 경우 집합기호로도 표현할 수 있는데, 위의 소크라테스의 예시를 살짝 바꿔서 표현하면 다음과 같다.

P\subset Q

(사람은 죽는 것이다.)

s\in P

(소크라테스는 사람이다.)

\therefore s\in Q

(따라서 소크라테스는 죽는 것이다.)

여기서 $P\subset Q$ 는 P가 Q의 부분집합이라는 뜻이다. 즉, P에 있는 모든 원소는 Q의 원소라는 뜻이다. 이 논증을 위와 비교하여 다른 부분을 찾아보면, 대전제의 모든 사람이 사라진 것을 볼 수 있을 것이다. 이는 집합의 특징 때문에 생기는 것이다. 부분집합이라는 것은 하나의 예외도 없어야 하는데, 만약에 불상(佛像)이 P에 들어가 있으면, 불상은 죽지 않으므로(죽을 수 있는 대상이 아니므로) Q에 속하지 않는다. 따라서 딱 한 개의 집합을 지칭할 때는 굳이 $\forall$ 을 쓰지 않아도 문제가 없다.(집합들의 집합인 경우에는 이야기가 다를 수 있다.)

그러나 집합의 원소의 경우에는 다를 수 있다. 예를 들어 초등학생 집단 E에 대해 개별적인 원소 초등학생 e를 생각해보자. 그리고 수영을 할 수 있는 사람의 집단 S와 그 원소 수영할 수 있는 사람 t를 생각해보자. 수영을 할 수 있는 모든 사람이 전부 초등학생인 것은 아니다. 따라서 오른쪽 그림의 빨간색을 표현할 때 다음과 같이는 쓸 수 없을 것이다.

t\in E

반대로 초등학생 중에 수영을 할 수 있는 사람이 있으면 모든 수영을 할 수 있는 사람이 전부 초등학생이 아니라고 말할 수 없다. 따라서 다음과 같이도 쓸 수가 없다.

t\notin E

따라서 T에 속하는 원소 중에 일부만이 E에 속한다. 원소가 하나만 존재할 수 있지만, 그러지 못할 경우에는 '존재한다' 혹은 '임의의 원소에 대하여'를 나타내는 양화사 $\exists$ , $\forall$ 를 사용하여 표현해야 한다. 즉, 수영을 못하는 초등학생, 수영을 할 수 있는 초등학생, 수영을 할 수 있는 중학생이 있는 경우에 위의 표현은 다음과 같이 써야할 것이다.

\exists t\in E

혹은

\exists t\notin E

기호에 대각선을 긋거나, 그 기호 앞에 !를 붙이는 것은 부정을 나타낸다. 예를 들어, 존재하지 않는다는 $\nexists$ 혹은 $!\exists$ 로 사용한다. 집합은 !를 붙이지 않고, 여집합을 나타내는 $^{C}$ 를 붙여 표현한다.

수학에서 자주 쓰이는 기호들

위의 양화사와 집합기호들을 포함해 수학에서는 여러 가지 기호들을 사용한다. 어떤 토픽에서 중요한 것들은 따로 설명해주지만 저자가 독자는 알 것이라고 생각하는 경우 생략할 때가 많다. 이 문서에서는 모든 기호를 설명하진 않을 것이다. 모든 기호를 설명하기에는 너무 지엽적인 것이 많기 때문에, 보통 대부분의 수학분야에서 통하는 기호들을 중심으로 설명할 것이다.

함수

현대수학에서 함수는 두 집합간의 관계로 정의가 된다. 한 집합은 정의역이라고 불리는 집합으로, 함수에 들어가는 원소들을 담고 있고, 다른 하나는 치역이라고 불리는 집합으로, 함수에서 나가는 원소들을 담고 있다. 함수라고 하는 것은 정의역에서 치역으로, 정의역의 원소를 치역의 한 원소로 보내는 역할을 하는 연산이다.

함수를 보통 다음과 같이 쓰고 난 다음에 정의한다.

F:X\to Y

여기서 X는 정의역을 말하고, Y는 치역을 말한다. :는 왼쪽에 있는 대상의 특성이 어떤지를 나타내준다. 우리가 흔히 알고 있는 $f(x)$ 와는 달리 (x)가 생략되어 있다. (x)를 사용하는 것은 함수가 집합 X의 원소 x만을 받아서 집합 Y의 원소 y로 보내는 것을 강조하기 위해서 쓰는 것이다. 좀 더 원소를 강조하기 위해서 가끔은

f:x\mapsto y

로 정의할 수도 있다. 여기서 $X\to Y$ 는 X 집합에서 Y집합으로의 사상을 말하는 것이고, $x\mapsto y$ 는 원소 x에 대하여 y로 매핑하는 것을 말한다. 한국어에서 두 단어의 큰 차이는 존재하지 않고, 그냥 적당한 규칙을 가지고 옮긴다는 뜻으로 봐도 큰 무리가 없다. 다만, 더 넓은 범주에서 함수 대신에 사상(Morphism)이라는 말을 많이 쓴다.

위의 표기법에서는 잘 들어나있지 않지만, 함수는 그 정의상 정의역의 원소 x 하나가 가질 수 있는 치역의 원소는 하나다. 물론, 정의역의 원소끼리는 같은 치역의 원소를 고를 수는 있지만, 한 정의역의 원소가 두 개의 치역의 원소를 가질 수 없다. 또, 정의역의 정의는 함수가 가지는 입력값이기 때문에, X의 원소이면서 f(x)의 정의역의 원소가 아닌 x는 존재하지 않는다.(즉, 집합 X 안에 있으면 원소 x는 f(x)에서 무조건 어떤 역할이든지 해야한다.) 첫번째는 같은 입력값에 다른 출력이 나오는 것을 막기 위함이고, 두번째는 정의역의 정의에 따라 자연스럽게 나오는 결과이다.

데카르트 곱

데카르트 곱은 집합 간의 곱셈을 나타내는 곱이다. 공교롭게도 데카르트곱은 가위곱(×)을 기호를 사용한다. 데카르트곱은 아주 단순하게 쌍을 만들어 주는 것이다. 예를 들어, {1,2,3}이라는 집합이 있고, {a,b,c}라는 집합이 있을 때 이들의 데카르트곱은

\{1,2,3\}\times \{a,b\}=\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\}

로 나타낸다.

데카르트 곱은 대표적으로 새로운 차원을 만들어주는 역할을 한다고 볼 수 있지만, 수학에서는 연산을 정의하는데 더 많이 쓴다. 가령 정수 $\mathbb {Z}$ 간에 더하기 +를 정의한다고 하면

+:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}

라고 쓰고 정의를 한다.^[5](이 문서에서 덧셈을 정의하지는 않을 것이다.) 우리가 보통 덧셈을 할 때 9+8처럼 쓰듯이, 저렇게 정의된 연산은 연산의 앞(앞의 $\mathbb {Z}$ )와 연산의 뒤(뒤의 $\mathbb {Z}$ )에 대해 다음과 같이 정의하는 연산이다.

데카르트 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다. 다시 말해서 위의 예시에서

\{1,2,3\}\times \{a,b\}\neq \{a,b\}\times \{1,2,3\}

이다. 더 단순하게는 $(1,2)\neq (2,1)$ 이다. 따라서 모든 연산이 교환법칙이 성립하지는 않고, 오히려 특별한 경우에만 연산의 교환법칙이 성립한다. 덧셈, 곱셈이 교환법칙이 성립하는 연산이고, 뺄셈, 나눗셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.

연산 중에서 특이한 경우로 $\cdot$ 이 있는데, 이 기호는 실존하는 주제에 자주 생략이 된다. 보통 곱하기로 쓰이는 연산이지만, 일반적으로는 집합의 원소 둘 사이에 아무것도 없으면 생략되어 있는 이 연산을 통해서 연산하라는 뜻으로 쓰인다.

등호

등호(=)를 사용하는 것은 두 개가 같음을 나타내기 위해서 사용하는데, 모순적이게도 등호를 사용한다고 해서 양쪽에 있는 것이 완전히 똑같은 것이 아니다. 이런 궤변적인 논리가 나온 이유는, 양적으로는 두 개가 같을 순 있어도, 그것이 개념적으로는 같다고는 보기 어려운 경우가 있기 때문이다. 즉, 양적으로 말할 때는 등호를 써도 상관 없지만, 그것이 두 개가 완전히 개념적으로도 동일한 것인가에 대한 것은 또 다르다.(집합론에서는 두 집합의 원소가 모두 같을 경우에 등호를 사용하기 때문에 또 또 다른 이야기다.)

등호 나타내는 기호의 유래에서도 등호가 온전히 같은 걸 말하지 않는다고 볼 수 있다. 등호 =는 두 평행선이 같다는데서 착안한 것인데, 두 평행선은 서로 포개어진 상태가 아니라, 서로 떨어져 있기 때문에, 그 크기가 같을 수는 있어도 두 평행성 자체가 온전히 같은 것이라고 보기는 힘들다. 단지, 어떠한 특성(특히 양)이 같기 때문에 등호로 표시하여 성립한 것이다.

이런 궤변적인 논리에 더불어 좀 더 정확하게 하기 위해서 기호 $\equiv$ 또는 ${\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}$ 를 만들었다. 이것은 서로가 아예 뜻이 같은, 동치라는 뜻을 가진 기호이다. $A\equiv B$ 라고 하면, A이면 B이고, B이면 A이라는 뜻을 가지게 된다. 이것을 우리는 뜻을 정한다는 의미에서 정의라고 부른다. 여기서 좀 더 나아가서, 오른쪽이 왼쪽이면 괜찮은데, 왼쪽이 오른쪽이면 곤란하다. 그래서 여기에 더해 $:=$ 라는 기호를 만들어냈다. 이 기호에서 왼쪽은 정의하는 용어를 나타내고, 왼쪽은 오른쪽으로 정의하지만 오른쪽에 대해서 왼쪽에 있는 것과의 관계에 대해서는 함구하겠다는 표현이기도 하다.

함의

함의(Implication)는 내포라고도 불리며, "A이면 B이다."처럼 어떤 것이 다른 것으로 귀결될 때 사용되는 표현이다. $\Rightarrow$ 처럼 두 줄이 그어진 화살표를 사용하고, 화살표의 꼬리 쪽에 있는 것이 전제고, 화살표의 머리 쪽에 있는 것이 결론이다. 동치인 경우 양쪽방향으로 화살표 $\iff$ 를 놓는다.

대수구조

위키백과에서 자주 보이는 것으로, 대수구조는 어떤 대수들과(수직선 위의 실수 등) 그것에 대한 연산(덧셈, 곱셈 등)이 같이 정의되어 한 세트로 표기하는 것이다. 대게는

(M,\cdot )

같이 표현하고, 앞에 있는 것이 대수집합, 뒤에 있는 것이 이 구조에서 정의되어 있는 연산이다. 보통은 대수구조에 대한 정의를 하고 사용한다. 어떤 대수구조가 어느 대수구조보다 추가조건이 많이 붙어 있어도, 어느 대수구조에서의 조건들을 잘 충족한다면, 그 어떤 대수구조는 어느 대수구조라고 말해도 된다.

예시

엡실론-델타 논법

실수 위에서 정의된 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 와, 두 실수 $p,L\in \mathbb {R}$ 에 대해 " $x$ 가 $p$ 에 가까워지는 $f$ 의 극한은 $L$ 이다."라고 말한다. 이것을 다시 쓰면 $\lim _{x\to p}f=L$ 이다.

이를 엡실론-델타 논법을 통해 정의하면 다음과 같다.

\forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0,\;x\in \mathbb {R} :0<|x-p|<\delta \Rightarrow 0<|f(x)-L|<\varepsilon

해석:

모든 0보다 큰 $\varepsilon$ 와 모든 실수 $x$ (실수 집합의 원소인 모든 $x$ )에 대해서 $\delta$ 가 존재할 때,

0보다 큰 $x$ 와 $p$ 의 차의 절대값보다 큰 $\delta$ 가 존재하면 0보다 큰 함수값 $f(x)$ 와 실수 $L$ 의 차의 절대값보다 큰 $\varepsilon$ 이 반드시 존재한다.

덧셈

실수집합 $\mathbb {R}$ 에 대한 연산 $+$ 에 대하여 연산 $+$ 는

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

인 연산구조이고, 다음이 성립한다.

$\forall r,s,t\in \mathbb {R} ,\;r+(s+t)=(r+s)+t$
$\forall r,s\in \mathbb {R} ,\;r+s=s+r$
$\forall r\in \mathbb {R} ,\;\exists 0\in R,\;0+r=r$
$\forall r\in \mathbb {R} ,\;\exists (-r)\in R,\;r+(-r)=0$

해석:

+는 실수집합( $\mathbb {R}$ )의 원소와 실수집합( $\mathbb {R}$ )의 원소를 연산하여(×, ×자리에 +를 넣어서 연산) 실수집합의 원소를 내놓는 함수다.

그리고 이 함수는 다음을 만족시킨다.

실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $r,s,t$ 에 대해 $s$ 와 $t$ 를 연산한 후에 그 값을 $r$ 와 연산한 것과 $r$ 와 $s$ 를 연산한 후에 그 값을 $t$ 와 연산한 것은 같다. 즉, 계산 순서가 앞의 것이 먼저이거나, 뒤의 것이 먼저이더라도 결과가 같다.(결합법칙)
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $r,s$ 에 대해 $r$ 과 $s$ 를 연산한 것은 $s$ 와 $r$ 을 연산한 것과 같다. 즉, 연산의 좌우에 위치한 원소의 자리가 바뀌더라도 결과가 같다.(교환법칙)
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $r$ 에 대해 0이라고 하는 원소가 실수집합 $\mathbb {R}$ 안에 존재하고, 0과 $r$ 에 대해 연산하면 값은 $r$ 와 같다. (항등원의 존재)
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $r$ 에 대해 $-r$ 이라고 하는 원소가 실수집합 $\mathbb {R}$ 안에 존재하고, $r$ 와 $-r$ 에 대해 연산하면 값은 0과 같다. (역원의 존재)

여기서 실수집합 $\mathbb {R}$ 은 전순서집합이다. 다시말해 $\forall r,t\in \mathbb {R}$ 인 두 원소에 대해 두 원소의 크기를 비교할 수 있다. 엄밀하게 다음 세 조건을 만족한다.

$\forall x,y,z\in \mathbb {R} :\;x\leq y\leq z\Rightarrow x\leq z$
$\forall x,y\in \mathbb {R} :\;x\leq y\land x\geq y\Rightarrow x=y$
$\forall x,y\in \mathbb {R} :\;x\leq y\lor x\geq y$

더불어 실수집합 $\mathbb {R}$ 은 다음 성질도 만족한다.

\forall x,y,z\in \mathbb {R} :\;x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z

해석:

실수집합 $\mathbb {R}$ 은 다음 네 조건을 만족한다. 세 조건은 전순서집합의 정의이고, 나머지 하나는 순서관계와 덧셈연산의 양립조건이다.

실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $x,y,z$ 에 대해 $x$ 보다 $y$ 가 크거나 같고, $y$ 보다 $z$ 가 크거나 같으면 $x$ 보다 $z$ 가 크거나 같다.
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $x,y$ 에 대해 $x$ 보다 $y$ 가 크거나 같으면서 $x$ 가 $y$ 보다 크거나 같으면 $x$ 와 $y$ 는 같다.
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $x,y$ 에 대해 $x$ 보다 $y$ 가 크거나 같거나 $x$ 가 $y$ 보다 커거나 같아야 한다.
실수집합 $\mathbb {R}$ 의 아무 원소인 $x,y,z$ 에 대해 $x$ 보다 $y$ 가 크거나 같으면 $x$ 와 $z$ 를 + 연산한 것보다 $y$ 와 $z$ 를 + 연산한 것이 더 크다.

읽을거리

《수학기호의 역사》, 반니, 조지프 마주르, 권혜승 역

↑ 이 부분에 대해서는 읽을거리의 《수학기호의 역사》에 간략하게 서술되어 있다. 더불어, 이게 필사되는 과정에서 생긴 기호일 수도 있다는 주장도 존재한다. 모든 "역사적"이라고 불릴만한 자료들은 자료들이 전승, 필사, 번역되는 과정에서 그 내용들이 인간적인 실수나 뜻의 곡해(잘못된 번역) 등으로 인해 온전히 그것이 그대로 내려오는 것은 원전이 발견되지 않는 한 사실상 불가능에 가깝다는 것을 염두해둬야 한다.
↑ w:en:Arithmetica과 함께 《수학기호의 역사》를 참고.
↑ Mathematical Magazine, Volume 1. Artemas Martin, 1887. Pg 124
↑ Robert Recorde (1557년). 〈The rule of equation, commonly called Algebers Rule〉, 《The Whetstone of Witte》. 잉글랜드, 런던: John Kyngstone, 236쪽 “Howbeit, for easie alteration of equations. I will propounde a fewe examples, bicause the extraction of their rootes, maie the more aptly bee wroughte. And to avoide the tediouse repetition of these woordes: is equalle to: I will sette as I doe often in worke use, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: = , bicause noe .2. thynges, can be moare equalle." (그러나, 등식의 기술(記述) 편의성을 위해서, 나는 더 쉽게 근을 찾아내도록 몇 가지 예시를 들 것입니다. 또, "은 와 같은" 단어의 지루한 반복을 피하기 위해서, 맨날 일하는 것처럼, 한 쌍의 평행선 혹은 같은 길이의 쌍둥이 직선 =을 놓아 대체하겠습니다. 이 두 개처럼 더 똑같은 것은 없이 때문입니다.)”
↑ 여기서 $\mathbb {Z}$ 는 보통 정수를 의미하고, 이런 필기체를 칠판볼드필기체라고 한다. 니콜라 부르바키가 애용하였다.

[1] 이 부분에 대해서는 읽을거리의 《수학기호의 역사》에 간략하게 서술되어 있다. 더불어, 이게 필사되는 과정에서 생긴 기호일 수도 있다는 주장도 존재한다. 모든 "역사적"이라고 불릴만한 자료들은 자료들이 전승, 필사, 번역되는 과정에서 그 내용들이 인간적인 실수나 뜻의 곡해(잘못된 번역) 등으로 인해 온전히 그것이 그대로 내려오는 것은 원전이 발견되지 않는 한 사실상 불가능에 가깝다는 것을 염두해둬야 한다.

[2] w:en:Arithmetica과 함께 《수학기호의 역사》를 참고.

[3] Mathematical Magazine, Volume 1. Artemas Martin, 1887. Pg 124

[4] Robert Recorde (1557년). 〈The rule of equation, commonly called Algebers Rule〉, 《The Whetstone of Witte》. 잉글랜드, 런던: John Kyngstone, 236쪽 “Howbeit, for easie alteration of equations. I will propounde a fewe examples, bicause the extraction of their rootes, maie the more aptly bee wroughte. And to avoide the tediouse repetition of these woordes: is equalle to: I will sette as I doe often in worke use, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: = , bicause noe .2. thynges, can be moare equalle." (그러나, 등식의 기술(記述) 편의성을 위해서, 나는 더 쉽게 근을 찾아내도록 몇 가지 예시를 들 것입니다. 또, "은 와 같은" 단어의 지루한 반복을 피하기 위해서, 맨날 일하는 것처럼, 한 쌍의 평행선 혹은 같은 길이의 쌍둥이 직선 =을 놓아 대체하겠습니다. 이 두 개처럼 더 똑같은 것은 없이 때문입니다.)”

[5] 여기서 $\mathbb {Z}$ 는 보통 정수를 의미하고, 이런 필기체를 칠판볼드필기체라고 한다. 니콜라 부르바키가 애용하였다.

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