일본의 수학교육/고등학교 수학 기초/수와 인간

수와 인간

본 페이지는 고등학교 수학 기초의 '수와 인간'에 대한 해설입니다. 여기에선 수나 숫자에 대한 역사 등을 섞으면서 설명하고자 합니다.

들어가기 전에

인간은 언제부터 수나 숫자를 사용한 것일까요? 유라시아 대륙에서 가장 오래된 문명으로 여겨지는 메소포타미아 문명의 유적에서는, 이미 쐐기형 문자라고 하는 문자로 된 숫자가 존재하였습니다. 이로부터, 문자의 탄생과 함께 숫자도 등장했다고 하더라도, 과언은 아닐 것입니다.

그런데, 영국의 수학자이자 철학자인 러셀은 다음과 같이 말했습니다.

2일의 2와 2마리의 꿩의 2는 같았다. 하지만, 같은 2인 것을 깨닫기까지 한없이 많은 시간이 필요했다.

바보같다고 생각할지도 모르겠지만, 현대의 어린 아이들이 수의 개념을 선천적으로 알고 있지 않다는 것이 심리학적 실험 등에서 밝혀졌습니다. 또, 1로부터 100까지의 숫자를 말할 수 있는 아이가 100개의 것을 셀 수 있는 것은 아니라는 것도 잘 알려져 있습니다. 학교에서 배우는 숫자를 기억하는 것만으로 실제 수를 세는 것, 수의 규칙·법칙등을 이해하는 것은 아닙니다. 즉, 수의 개념을 이해하는 것과 암기는 다르다는 의미입니다.

큰 자릿수의 숫자와 작은 자리 숫자

초등학교에서는 만, 억, 조라고 하는 수의 단위가 있는 것을 배웁니다. 그러나, 큰 수를 나타내는 말이 이것이 전부는 아닙니다. 에도시대의 수학서에는 경, 해, 양, 구, 간, 정, 재, 극, 항하사, 무수, 나유타, 불가사의, 무량 대수라고 하는 수의 단위를 제시하고 있습니다. 1무량 대수는 69자릿수(1 뒤에 0이 68개나 늘어서는!)라고 하면, 엉뚱한 자릿수의 큰 수입니다.

또, 1보다 작은 수를 나타내는 말로서 분, 리, 모, 사, 홀, 미, 섬, 사, 진, 애, 묘, 막, 모호, 준순, 순식, 지탄, 찰나, 6덕, 허공, 청정, 아뢰야, 아마라와 같은 것이 있습니다.

이와 같이, 언어로 표현되는 숫자들이 있습니다. 그러나 이들보다 더 큰 수나 작은 수를 생각하는 것도 가능하고(1무량 대수×1무량 대수=?), 또 실제로 자연과학에서 더 큰수나 작은 수가 등장하기도 합니다. 예를 들어, 물질을 구성하는 작은 입자, 양성자의 질량은 1.7열반 적정 그램 정도이지만, 전자는 한층 더 작고 그 1800분의1정도의 질량 밖에 갖지 않습니다.

그리고 우주에는, 이것 입자가 1무량 대수의 1조배로부터 1무량 대수의 1경배정도 존재할 것으로 예상하고 있습니다.

이러한 수는, 한자를 사용한 말로 나타내기 어렵습니다. 지금 "1무량대수의 1경배"라고 썼지만, 이것으로는 이것이 어느 정도의 크기인지 쉽게 알기 힘듭니다.이를 해결하는 간단한 방법은, 숫자를 사용해 통상적으로 나타내는 것이지만, 이것도 편리하다고는 말하기 힘듭니다. 1무량 대수를 숫자로 나타내면100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 1열반 적정을 똑같이 나타내면 0.000000000000000000000001입니다. 이러한 것을 읽기도 힘들뿐더러, 쓰기도 힘듭니다. 하물며, 계산을 하리라고는 생각하기가 힘듭니다.

이러한 수를 깨끗하게 처리하기 편리한 것이 지수의 표시이다. 10²=100,10³=1000 등과 같이, 10ⁿ은 1 뒤에 0이 n 개의 붙는 수가 됩니다. 이를 사용하여 많은 수의 표기를 짧게 할 수가 있습니다. 예를 들어, 1 무량 대수는 10⁶⁸로 나타낼 수 있습니다. 수를 이렇게 표기하고 계산할 때, 중요한 것이 지수 법칙입니다. 이들이 이루어질 지수의 의미를 생각해 봅시다.

지수의 확장과 지수 법칙

$a,b\neq 0$ 에서m>n이 자연수일 때

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
$(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$

큰 수를 표기할 수 있으므로, 당연히 작은 수를 나타낼 수도 있지 않을까 생각할 수 있습니다. 그러기 위해서는, 지수 법칙이 성립되도록 지수의 의미를 확장해 봐야 합니다. 여기에서 다음과 같이 정의하면, 위에 표에서 제시한 지수 법칙이 모든 정수 m , n 에 대해 성립 알 수 있습니다.

$a^{0}=1$
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

이렇게 하여, 지수를 확장하면 작은 수를 지수로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 0.1 = 10^-1 0.01 = 10^-2 등으로 나타낼 수 있게 됩니다. 이렇게 큰 수나 작은 수를, 지수로 간단히 나타낼 수 있게 되는 것입니다.

지수에 관한 더 자세한 내용은 수학II에서 배울 수 있도록, 양보하고자 합니다. 또, 지수와 같이 계산을 간단하게 하는 도구로서, 대수라고 하는 개념도 있습니다. 그러나, 이것도 수학II에서 다루고자 합니다. 흥미가 있는 분께선 해당 부분을 참고해 주세요.

숫자의 개념

1, 2, 3, ...이라는 숫자는 오래 전부터 쓰여 왔습니다. 또한 1 / 2과 같은 분수와 0.123 같은 소수도 인류의 역사에서 일찍부터 쓰여 왔습니다. 이는 고대 이집트의 파피루스에서 분수의 계산이 있다는 것으로부터도 알 수 있습니다. 이 수들은 감각적으로도 파악할 수 있기 때문에, 인류가 문명을 만들어 낼 무렵에 벌써 수를 사용하고 있었을 것입니다. 그런데 다양한 계산 등을 생각하다보면 감각과 직관에서 미처 파악할 수 없는 수가 등장합니다. 그 대표적인 예가 음수와 0의 개념입니다.

자연수

직감적으로 1, 2, 3, …이라는 숫자를 세면서 하나하나 올리는 것은 어렵지 않습니다. 그래서 이러한 것의 사용은 고대 그리스까지 거슬러 올라갈 수 있습니다. 유클리드의 '원론'에서 이러한 것을 찾아볼 수 있습니다. 그러나 유클리드의 원론에서는 자연수 이외의 분수 등을 포함한 수는 '무정의 용어'로, 설명되지 않는 것으로 다루고 있습니다. 그러나, 막상 '자연수란 무엇인가?'를 규정하게 되면, 단순하지 않고 어려워집니다. 이러한 것은 고등학생에게는 어렵기 때문에, 여기서 자세하게 다루지는 않겠습니다.

덧붙여서, 0은 자연수에 포함하는 입장과 포함하지 않는 입장이 있습니다. 일본의 초등학교, 중학교, 고등학교에서는 0을 자연수에 포함하지 않는 경우가 많지만, 0을 포함하는 주장도 일부 있어, 어느 쪽이 옳고 그르다는 것을 이야기하는 것이 아닙니다. 이 책에선 0은 자연수에 포함하지 않는 것으로 봅니다.

먼저, 자연수의 성질을 제시하겠습니다. 우선, 자연수는 모두 1+1+1+…처럼 분해할 수 있습니다. 즉, 어떠한 자연수도 수많은 1의 합으로 만들고 분해할 수 있다는 것입니다. 두번째로, 자연수는 모두 그 그 수가 자신 또는 소수끼리 곱한 것으로 분해할 수 있다는 것입니다. 이에 대해서는 나중에 다시 설명하겠습니다. 세번째로, 자연수끼리 덧셈과 곱셈을 하더라도, 결과가 자연수만 나온다는 것입니다. 단, 뺄셈이나 나눗셈을 하게 되면, 자연수 이외의 유리수가 나올 수 있습니다. 하지만, 이러한 계산을 거치더라도 무리수는 되지 않습니다. 이러한 성질을 굳이 제시하는 것에 어처구니가 없을 수도 있겠지만, 이것은 자연수란 무엇인지에 대해 깊이 생각하기 위해서, 매우 중요합니다.

정수

자연수 외의 0 또는 음의 정수를 합친 것을 정수라고 합니다.

0

자연수의 등장만큼 역사가 오래된 수입니다. 그러나 0이라는 숫자가 등장하고, 그것이 숫자 중 하나로서 이해하는 것은 시간이 오래 걸렸습니다. 먼저 "~이 없다"는 것은 이해할 수 있어도, "없는 것"을 숫자로 써서 나타내는 것이 필요한지에 대한 문제가 있었습니다. 실제로, 고대 이집트에서 0의 존재는 알려져 있었지만, 0을 나타내는 숫자는 존재하지 않았습니다.

0의 계산은, 자연수에선 찾아볼 수 없는 독특한 규칙이 있는 수를 0으로 인정하는 것에 대한 저항으로 이어졌습니다. 0의 계산 규칙을 봅시다.

덧셈: a + 0 = 0 + a = a.
뺄셈: a － 0 = a . 0 － a = －a.
곱셈: a · 0 = 0 · a = 0.
나눗셈: 0 ÷ a = 0 (a ÷ 0 은 불가능)

덧셈과 곱셈의 교환법칙은 성립하지만, 아무리 덧셈을 해도 변하지 않고, 어떤 수를 쓰더라도 0이 되는 이 본질은 좀처럼 이해하기 쉽지 않은 것이었습니다. 특히 유럽의 언어로 플러스, 즉 +는 더한다, 증가에 가까운 말입니다. 덧셈을 해도 변하지 않고, 곱셈을 하면 도리어 줄어든다는 것은 이해하기 쉽지 않았습니다. 참고로, 0으로 나눗셈을 하는 "0으로 나누기"가 없다는 것은 0의 특수한 성질 중 하나입니다.

0으로 나누는 것을 한 번 소개해 보겠습니다.

다음을 전제로 합니다.

0\times 1=0\quad

0\times 2=0\quad

이 때 다음이 성립합니다.

0\times 1=0\times 2

양변을 0으로 나누면, 다음과 같습니다.

\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2

이것을 간략하게 하면 다음과 같습니다.

1=2\quad

이와 같이, 1 = 2 라는 자연수의 가정을 박살내버리는 결과를 낳게 됩니다. 이러한 요술 계산의 계략을 이야기하자면, 계산에서 0 / 0 = 1로 둔 것이 오류의 이유입니다. 그럼 0 / 0 = 1로 하지 않으면 어떨까요? 이것도 쉽지 않습니다. 왜냐하면,

0\times 0=0\quad

이 양변을 0으로 나누기하면

0={\frac {0}{0}}\quad

되고, 괜찮아 보이지만,

9\times 0=0\quad

동일한 작업을 수행하면

9={\frac {0}{0}}\quad

됩니다. 즉, 0 / 0 는 뭐든지 성립하는 수가 되어 버립니다. 이 때문에 0의 나눗셈은 정확하게는 "정의되지 않는다"고 합니다.

음수

자연수에 - (마이너스)를 붙인 것을 음수라고 합니다. 음수는 0보다 작은 숫자로 간주하고 있습니다. 지금은 일기예보의 기온에서도 자주 듣고, 중학교에서는 음수의 계산도 배웁니다.

음수는 기원전 100년경 중국의 수학서적 "9장 산술"에서 다루고 있습니다. 또한, 7 세기 무렵 인도에서 음수가 사용되고 있었다고 합니다. 그러나 유럽에서 음수가 숫자의 일부로 인정되는 데까지 꽤 시간이 걸렸습니다. 이것을 나타내는 것으로, 자주 화제에 오르는 것은 17 세기 수학자인 파스칼 의 저서 "팡세"에 나오는 "0에서 4를 빼면 0인 사실조차 이해하지 못하는 사람들이 있다"라는 말입니다. (그러나 파스칼 정말 음수를 이해하지 못했던 것인지는 알 수 없습니다).

그런데, 유럽에서 음수가 소개되었을 때 음수는 "빚"의 개념으로 소개되었습니다. 예를 들어 0-1000 = -1000이지만, 이것은 "무일푼 상태에서 1000 원 빌렸다"는 것이 됩니다. 또한 -1000 +1000 = 0은 "1000 원의 빚이 있는 곳에 1000원의 수입이 있었기 때문에 상환하면 부채도 재산도없는 상태로 돌아왔다."가 됩니다. 따라서 음수를 "빚", 정수를 "재산"으로 이해하는 것이 덧셈과 뺄셈의 편리한 이용이었습니다.

그러나 곱셈이나 나누기를 부채로 파악하기엔 문제가 발생하게 됩니다. -1000 × 2 = -2000은 괜찮습니다. "1000원을 2회 빌리면, 2000원의 빚이 된다"라고 해석할 수 있기 때문입니다. 그런데, -1000 × -2는 어떻게 이해하면 좋을까요? 인도의 수학자 바스카라 2세는 "재산과 재산의 곱, 빚 및 빚의 곱은 모두 재산이며, 재산과 빚의 곱셈은 빚이다."라고 말했습니다. 이것은 확실하게 음수의 계산 규칙에 따른 것이지만, 이것으로 설명하려고 해도 부족한 부분이 생깁니다. 빚에 빚을 곱해도, 일상적으로는 재산이 될 리가 없기 때문이죠. 따라서, 음수의 곱셈이 유럽에서는 오랫동안 논의되어 온 것은 바로 이것 때문입니다.

그럼, 음수끼리의 곱셈은 왜 정수가 되는지를 생각해 봅시다. 사실, 수직선을 이용하면 이해하기 쉽습니다.

지금 원점 0에 매초 -1씩 이동하는 점이 있다고 가정합니다. 이 때, 3초 후는 +3이므로, (-1) × (+3) = -3의 점에 가 있습니다. 그럼, 3초 전, 즉 -3초 후라면 어떨까요? -의 반대방향, 즉 +방향이고, 원점 0으로부터 +3만큼이 됩니다. 이것을 식으로 나타내면, (-1) × (-3) = +3이 됩니다.

사실, 자연현상(정확히는 물리현상)도 정수의 곱셈과 비슷한 법칙이 보입니다. 먼저, 미는 힘(척력)을 +, 당기는 힘(인력)을 -로 합니다. 중학교 과학 1과 고등학교 이과 종합A에서 배운 것처럼, 이온화된 원자 등은 전기를 가지고 있습니다. 그들이 띠고 있는 전기(또는 전기의 양)를 전하라고 합니다. 이들은 서로 밀고 당기면서 영향을 미치는데, 그러한 관계는 다음과 같습니다.

전하1	전하2	힘
+	+	+
-	-	+
-	+	-
+	-	-

이러한 두 전하와 힘의 관계를 나타낸 것이 쿨롱의 법칙이지만, 여기에선 생략하고자 합니다.

분수

분수의 작성은, 분모와 분자의 숫자 사이에 선을 그으면 됩니다. 초등학교에서는 분수 쓰는 법을 배우는데, ${\frac {1}{2}}$ 처럼 나타내는 것 이외에, 이 페이지에서 여러번 쓴 것처럼 1 / 2 처럼 쓰는 방법도 있습니다. 특히 뒤의 것은 초등학교에서 배운 분수 쓰는 법에서 공간이 부족할 때 사용하기도 하지만, 시속단위는 "km/시"와 같이 사용하여, 단위를 나타낼 때 이 표기법을 사용하곤 합니다. (덧붙여서, 이 페이지에서는 스타일의 문제 때문에 가능한 a/b의 표기를 쓰고 있습니다.)

분수에는 세 가지 의미가 있습니다. 3 / 5를 생각해 봅시다. 우선 3 / 5 = 3 ÷ 5와 같이, 나눗셈으로 표현할 수 있습니다. 다음으로, 3 / 5는 5등분한 것에서 3개를 가지고 있다는 의미도 있습니다. 또, 3 / 5는 3:5라는 비율의 의미도 가지고 있습니다. 이 경우는, 하나는 3의 비율, 다른 하나는 5의 비율이 되는 관계입니다.

소수

분수와 마찬가지로, 정수와 정수의 "사이"의 수가 소수입니다. 분수가 일찍부터 등장한 반면, 소수가 등장한 것은 조금 늦습니다. 정확하게 말하면, 고대 메소포타미아 문명의 점토판에는 소수가 이미 등장하고 있었고, 먼저 소개한 작은 수의 단위도 소수의 친구라고 할 수 있습니다. 이유는 나중에 설명을 하도록 하고, 그래서 동양에서는 일찍부터 소수가 사용되고 있었다고 합니다. 그러나, 유럽에서 소수가 정착한 것은, 17세기의 수학자 존 네이피어가 지금 사용되고 있는 정수부분과 소수부분 사이에 소수점을 쓰는 방법을 소개한 뒤였습니다.

유럽에서 소수가 뒤늦게 정착한 이유는, 10진법이 정착되지 않은 상태에서 12진법이나 60진법이 잘 사용되었기 때문입니다. 어떤 진법이 정착되어 있지 않다면 소수를 사용하기 어렵습니다. 중국과 인도, 일본과 같은 이른바 동양권에서는, 이전부터 10진법만이 사용되었기 때문에 소수가 사용되고 있었습니다.

유한 소수

0.5나 0.12과 같이 유한한 자리수를 가진 소수를 유한 소수라고 합니다. 유한 소수는 항상 분수로 나타낼 수 있습니다.

무한 소수

1÷3을 분수를 사용하지 않고 계산하면, 0.33333…이 되어, 무한히 계산하더라도 계산이 끝나지 않습니다. 이러한 소수들을 무한소수라고 합니다. 무한소수는 동일한 수를 반복하는 순환소수와, 그렇지 않고 무작위로 구성되는 비순환소수로 구성됩니다. 0.101001000100001…과 같은 것도 있지만, 대표적인 것은 2의 제곱근일 것입니다. 루트 2는 1.41421356…의 값을 가집니다. 또, 원주율인 파이가 대표적인 무한 소수입니다.

순환 소수를 나타내는 방법은,

0.{\dot {1}}2{\dot {3}}

처럼 반복의 시작점과 마지막점의 숫자 위에 점을 기입하면 됩니다. 0.1234234…처럼 중간에서 순환하는 경우에는,

0.1{\dot {2}}3{\dot {4}}

으로 표현합니다. 0.33…과 같이 같은 수가 반복하는 경우는,

0.{\dot {3}}

이렇게 점을 하나만 기입해 줍니다.

그런데, 무한 소수는 분수가 될 수 있을까요? 일단 순환소수는 분수가 될 수 있습니다. 한 번 봅시다.

$0.{\dot {1}}2{\dot {3}}$ = $x$ 로 둡니다. 이 식의 양변에 1000을 곱하면, $123.{\dot {1}}2{\dot {3}}$ = $1000x$ 가 됩니다. 다음 식에서 첫 번째 식을 빼면,

{\mathrm {123} }{\mathrm {.} }\mathrm {\dot {\mathrm {12} }} \mathrm {\dot {3}} \mathrm {-} {0}{\mathrm {.} }\mathrm {\dot {\mathrm {12} }} \mathrm {\dot {3}} \mathrm {=} {\mathrm {1000} }{x}\mathrm {-} {x}

가 되고, 순환하는 소수 부분이 사라져 ${\mathrm {123} }\mathrm {=} {\mathrm {999} }{x}$ 가 됩니다. 양변을 999로 나누면, ${x}\mathrm {=} {\mathrm {123} }{\mathrm {/} }{\mathrm {999} }$ 가 됩니다. 약분하면, $\mathrm {41} \mathrm {/} \mathrm {333}$ 이 됩니다.

그럼, 비순환 소수는 어떨까요? 사실, 비순환 소수는 분수로 나타낼 수 없습니다. 왜냐하면, 분수로 나타낼 수 있는 수를 소수로 고치게 되면, 반드시 순환 소수가 되기 때문입니다.

무리수

정수는 분수로 나타낼 수 있으며, 유한 소수와 순환 소수 역시 분수로 나타낼 수 있습니다. 이러한 것들을 통틀어서, 유리수라고 합니다. 반면, 분수로 나타낼 수 없는 수도 있습니다. 이러한 것을 무리수라고 합니다. 무리수는 원주율 ${\mathit {\pi }}$ 나 ${\sqrt {2}}$ 와 같은 제곱근 등이 있습니다. 무리수는 분수와 순환소수 등으로 나타낼 수 없기 때문에, 원주율은 ${\mathit {\pi }}$ , 제곱근은 √ (루트)에 자연수나 양의 분수값 또는 소수를 넣는 등의 특정 기호를 사용하여 나타냅니다.

그럼 한 번, ${\sqrt {2}}$ 를 분수로 나타낼 수 없다는 것을 증명해 볼까요?

{\sqrt {2}}\mathrm {=} {\frac {b}{a}}

라고 합니다. 그리고 분수 b/a는 더 이상 약분할 수 없는 분수, 즉 기약분수로 합니다.

이것을 제곱하여 정리하면,

{2}{a}^{2}\mathrm {=} {b}^{2}

이 식으로 ${b}$ 이 짝수라는 것을 알 수 있습니다. $b$ 가 짝수이므로, ${b}\mathrm {=} {2}{c}$ 로 둡니다. 이를 정리하면,

{2}{a}^{2}\mathrm {=} {4}{c}^{2}

가 되고,

양변을 2로 나누면,

{a}^{2}\mathrm {=} {2}{c}^{2}

가 됩니다.

이 식으로 $a$ 가 짝수임을 알 수 있습니다. 그러므로, ${a}\mathrm {=} {2}{d}$ 로 둘 수 있습니다. 따라서,

{\sqrt {2}}\mathrm {=} {\frac {b}{a}}\mathrm {=} {\frac {2c}{2d}}

가 됩니다. 그러나 이러한 상태라면, 2로 약분할 수 있기 때문에 처음의 가정인 분수 b/a는 더 이상 약분할 수 없는 분수에 모순됩니다. 따라서

{\sqrt {2}}\mathrm {=} {\frac {b}{a}}

는 틀린 명제입니다.

즉, ${\sqrt {2}}$ 는 분수로 나타낼 수 없는 무리수가 됩니다.

참고로, 이 무리수와 유리수를 합쳐 실수라고 합니다. 어떤 실수든 제곱하면, 양수가 됩니다.

허수 · 복소수

16세기의 이탈리아 수학자 카르다노가 삼차방정식의 근의 공식을 발표했을 때, 제곱하면 음수가 되는 "기묘한" 숫자가 등장했습니다. 이것이 바로 허수입니다. 그런 수가 있겠느냐고 생각할 수도 있지만, ${x}^{2}\mathrm {+} {2}\mathrm {=} {0}$ 인 이차방정식을 풀어보면 알 수 있습니다. 이 이차방정식을 풀어보면, ${x}\mathrm {=} \mathrm {\pm } {\sqrt {\mathrm {-} {2}}}$ 가 되고, 제곱하면 음수가 된다는 것을 알 수 있습니다.

이 수의 존재는 당시의 수학자들에게 있어서, 음수조차 인정받지 못하던 상황에서 더 이상하고 기묘한 것으로 보였습니다. 그러나 이 수를 사용하지 않으면, ${\mathrm {(} }{x}\mathrm {-} {1}{\mathrm {)(} }{x}\mathrm {-} {2}{\mathrm {)(} }{x}\mathrm {-} {3}{\mathrm {)} }\mathrm {=} {0}$ 과 같이 인수분해할 수 있는 것 이외의 삼차방정식을 풀 수 없었습니다. 또한, 이 수를 사용하면 이차방정식도 모두 풀 수 있었습니다. 이러한 이유로, 허수는 수학자들에게 "마지못해" 인정되었습니다. 여기서 "마지못해"라고 하는 것은, 이 기묘한 수의 이름과 관련이 있을 것입니다. 이 숫자는 데카르트에 의해서 nombre imaginaire, 영어로 imaginary number라고 이름이 붙었습니다. 즉, "계산상 존재하는 상상의 수"라는 의미입니다.

허수임을 나타내려면 실수 뒤에 $i$ 기호를 붙이면 됩니다. 물론, $i$ 는 imaginary의 머리글자입니다. 예를 들어, 방금 전의 ${\sqrt {\mathrm {-} {2}}}$ 는 ${\sqrt {2}}i$ 로 쓸 수 있습니다. 또, 이차방정식이나 삼차방정식을 풀면, 대체로 ${a}\mathrm {+} {bi}$ 처럼 실수부와 허수부로 나뉩니다. 단, a, b는 모두 실수입니다. 이처럼, 실수와 허수의 합으로 나타낼 수 있는 수를 복소수라고 합니다. 복소수의 계산은 보통 문자식과 같은 방법으로 이용됩니다. 그러나, ${i}^{2}\mathrm {=} \mathrm {-} {1}$ 임을 명심하세요.

복소수의 계산규칙

a, b, c, d 를 실수, z, v, w 를 복소수로 한다.

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\,i.$
$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\,i.$
$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)\,i$
${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\,i.$

$z+w=w+z$ （합의 교환법칙）
$zw=wz$ （곱의 교환법칙）
$z(v+w)=zv+zw$ （분배법칙）

참고로, 복소수는 원래 수학 II에서 배웁니다. 또, 1994 ~ 2002학년도 입학생 및 2012학년도 이후의 입학생은, 수학 B에서 복소수를 기하학적 측면에서 보는 복소수 평면이라는 것도 배우게 됩니다. 복소수에 관심이 있다면, 위키백과의 복소수를 참고해 보는 것도 좋을 것입니다.

왜 수를 확대해 왔나요?

지금까지 자연수에서 시작해 복소수까지의 수들을 소개하였습니다. 그런데, 왜 이처럼 수의 개념을 확장해 온 것일까요? 그것은 수의 개념을 확대하면 다양한 것을 표현할 수 있게 되며, 여러가지 계산을 풀 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 음수를 인정하지 않으면 $x+4=0$ 이라는 매우 간단한 일차방정식조차 "해가 없음"이 되어버립니다. 실제로 이전에는 이렇게 취급되어 온 적도 있기도 합니다. (참고로, 초등학교에서 방정식이 나오지 않는 것은, 초등학교에서 음수를 배우지 않기 때문이기도 하죠.) 모든 이차방정식과 삼차방정식을 풀기 위해서, 허수와 복소수가 필요한 것은 앞에서 이미 언급했습니다. 수의 범위를 좁힐수록, 풀 수 있는 방정식은 점점 줄어들게 됩니다.

수의 개념을 확장하면, 다양한 것들을 표현할 수 있습니다. 이러한 관점에서 보기로 하겠습니다. 기준을 0으로, 그것보다 작은 수를 음수로 정의하면, 자연과 사회의 다양한 것들을 표현할 수 있게 됩니다. 경제 성장률의 "마이너스 성장"과 기온의 "영하 5도" 등이 좋은 예가 될 것입니다. 또, 제곱근과 원주율은 도형의 면적이나 변의 길의 등을 측정하는데 필수적이기 때문에, 설계나 건축에서 당연히 등장하며, 필수적인 것입니다. "상상의 수"로 여겼던 허수, 정확하게는 복소수도 비행기 설계나 전자공학 등의 분야에서 빠트릴 수 없는 정말 중요한 것이 되었습니다. 이러한 것이, 수를 확대해 온 이유입니다.

특수한 성질의 수

자연수 중엔 다양한 성질을 가진 수가 있습니다. 아래의 수들을 봅시다.

소수

1과 그 수 자신으로만 나눌 수 있는, 다른 수로는 나누어 떨어지지 않는 2 이상의 수를 소수라고 합니다.

소수에 대해 배우고 나면, 가장 화제가 되는 것은 "왜 1은 소수가 아닌가요?"라는 질문이 아닐까 합니다. 왜 1을 소수라고 할 수 없는 것일까요? 그 이유는 1을 소수로 하면 여러가지 문제가 일어나기 때문입니다. 우선, 자연수는 하나의 특징이 있습니다. 그것은 자연수는 그 수 자신이나 소수끼리의 곱으로 나타낼 수 있다는 것입니다. 먼저 "그 수 자신"으로 나타낼 수 있는 것이 1과 소수입니다. (만약 0을 자연수에 포함한다면, 0 또한 포함합니다.) 그 이외의 자연수는 반드시 소수끼리의 곱으로 분해할 수 있습니다. 이 분해를 소인수분해라고 부릅니다. 만약 1을 소수로 인정하게 되면, 소인수분해에 문제가 생기게 됩니다. 다소 어렵게 말해서, "소인수분해의 유일성"에 문제가 생깁니다. 조금 덧붙여서, 소인수분해의 순서는 묻지 않습니다. 가령, 예를 들어보겠습니다. 175를 소인수분해하면, 5×5×7로밖에 분해되지 않습니다. 그러나 1을 소수라고 가정하면, 1×5×5×7과 1×1×5×5×7이 모두 소인수분해의 결과로 인정됩니다. 결국 소인수 분해의 유일성에 반하게 됩니다. 이것이 1을 소수로 인정하지 않는 이유입니다.

참고로, 소수가 무한하게 존재한다는 것은 고대 그리스 무렵부터 알려져 있었습니다. 이것을 증명하는 방법도 있지만, 여기서는 이를 단순화해서 소개하고자 합니다. (다만, 구체적인 수를 사용하므로 증명이 아니라는 것을 알아주시기 바랍니다.)

소수가 무한하지 않다고 가정하면, 가장 큰 소수가 존재할 것입니다. 여기서 13을 최대 소수라고 가정해 보겠습니다. 그렇다면, 2×3×5×7×11×13+1도 2,3,5,7,11,13중 어느 쪽으로도 나누어질 것입니다. 그러나, 이들을 나누어도 많이 나오게 됩니다. 그렇게 되면, 이것은 소수이거나 13보다 큰 소수끼리의 곱들입니다. 그러나 이것은 "13을 최대의 소수로 한다"라는 것과 모순됩니다. 따라서, 13은 최대의 소수로 한 가정은 잘못된 것입니다. 같은 가정을 훨씬 더 큰 소수로 하더라도, 이와 같은 결과가 나오게 됩니다. 결국, 가장 큰 소수라는 것은 존재하지 않는 것입니다.

완전수

고대 그리스의 철학자이자 수학자이며, "피타고라스 교단"이라는 종교 결사적인 학파를 창설한 피타고라스는 "만물의 근원은 수이다."라고 말했습니다. 여기에서는 깊게 들어가지는 않지만, 이 사상을 가지고 있었기 때문에 그는 수에 특별한 의미가 있다고 생각했습니다. 그 예로, 1은 신, 2는 여성, 3은 남성을 나타낸다고 했습니다. 그리고 5는 2+3이므로 결혼, 6은 1+2+3이므로, 하나님과 인간이 조화를 이룬 완전수라고 합니다. 여기서 6을 제외한 6의 약수를 생각하면, 재미있는 것을 알 수 있습니다. 6의 약수는 1,2,3으로, 6 자신을 제외한 약수를 더하면 6이 나옵니다. 즉, 자신을 제외한 모든 약수의 합으로 나타낼 수 있는 것입니다. 이러한 성질을 가지는 수를 완전수라고 합니다.

완전수는 6 이외에도, 28,496,8128,33550336,8589869056 등이 있습니다. 피타고라스 이래, 2500년 이상 완전수에 대한 연구가 계속 이루어지고 있지만, "짝수의 완전수는 무한하게 존재하는 것인가?" 또는 "홀수의 완전수는 존재하는 것인가?"에 대한 문제는 현재까지도 해결되지 않은 난제랍니다.