해석학 개론/곱셈법칙

곱셈 법칙은 두 함수의 곱을 미분하는 법칙이다. 두 함수를 $f$ , $g$ 라고 했을 때 두 함수를 곱한 $f g$ 를 미분한 결과는

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

가 된다.

증명

함수 f를 $f (x) = g (x) h (x)$ 로 정의한다. 이때 $f^{'} (x)$ 를 도함수의 정의에 따라 구하면,

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

= lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x)}{Δ x}

= lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x) h (x + Δ x) - g (x) h (x) + g (x + Δ x) h (x + Δ x) - g (x) h (x + Δ x)}{Δ x}

= lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x) (h (x + Δ x) - h (x)) + h (x + Δ x) (g (x + Δ x) - g (x))}{Δ x}

= lim_{Δ x \to 0} (g (x) \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x} + h (x + Δ x) \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x})

여기에서 $h (x)$ 는 $x$ 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x) = h (x)

따라서 다음의 결과가 나온다.

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} [g (x) (\frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x}) + h (x + Δ x) (\frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x})]

= [lim_{Δ x \to 0} g (x)] [lim_{Δ x \to 0} \frac{h (x + Δ x) - h (x)}{Δ x}] + [lim_{Δ x \to 0} h (x + Δ x)] [lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}]

= g (x) h^{'} (x) + h (x) g^{'} (x)

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.

(f g h)^{'} = (f (g h))^{'} = f^{'} (g h) + f (g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}

이를 일반화하면, $f_{1}$ 부터 $f_{n}$ 까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.

\frac{d}{d x} \prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x) = \sum_{i = 1}^{k} (\frac{\frac{d}{d x} f_{i} (x)}{f_{i} (x)} \prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x))

곱셈 법칙의 결과를 이용하면, : $f g = \int_{} (f^{'} g + f g^{'}) d x$ 이다. 이를 이용한 적분법을 치환적분이라고 한다