해석학 개론/곱셈법칙

곱셈 법칙은 두 함수의 곱을 미분하는 법칙이다. 두 함수를 $f$, $g$라고 했을 때 두 함수를 곱한 $fg$를 미분한 결과는

$(fg)'=f'g+fg'$

가 된다.

증명

함수 f를 $f(x)=g(x)h(x)$로 정의한다. 이때 $f'(x)$를 도함수의 정의에 따라 구하면,

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}\left(g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}+h(x+\Delta x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)$

여기에서 $h(x)$는 $x$에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

$\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)$

따라서 다음의 결과가 나온다.

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)\right]$

$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]$

$=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)$

일반화

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.

$(fgh)'=(f(gh))'=f'(gh)+f(gh)'=f'gh+fg'h+fgh'$

이를 일반화하면, $f_{1}$부터 $f_{n}$까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.

${\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)$

응용

곱셈 법칙의 결과를 이용하면, :$fg=\int _{}{}(f'g+fg')dx$이다. 이를 이용한 적분법을 치환적분이라고 한다