부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 해석학개론/곱셈법칙에서 유도할 수 있다.
두 미분가능한 연속 함수 와 에 대해서, 적분 구간이 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.
|
|
|
|
부정적분의 경우에는 다음과 같다.
또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
여기서, 이고, 이다.
다음 식을 적분한다.
이때, 와 같이 가정하면
|
|
|
|
가 되어,
와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, 는 적분 상수이다.
이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.
이때,
이고,
우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.
그러면,
|
|
이므로, 함께 적으면,
임을 알 수 있다.
자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,
이고, 2로 나눠
와 같은 결과를 얻을 수 있다.
또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.
첫 번째 예는, 이다.
위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음과 같이 가정하면,
|
|
|
|
이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.
두 번째 예는 이다. 여기서 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음과 같이 가정하면,
|
|
|
|
임을 확인 할 수 있다.
부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 와 에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 에 대입한다.
- L: 로그 함수 (Logarithmic)
- I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)
- A: 대수적 함수 (Algebraic)
- T: 삼각 함수 (Trigonometric)
- E: 지수 함수 (Exponential)
를 대입한 후 남은 함수는 에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.