해석학 개론/부분적분

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부분 적분은 어떤 함수들의 곱에 대한 적분을 간단한 적분으로 변환하는 방법이다. 직접 적분하기 어려운 함수를 적분하기 쉬운 함수로 변환하는데 그 목적이 있다. 이 방법은 미분의 해석학개론/곱셈법칙에서 유도할 수 있다.

법칙[+/-]

두 미분가능한 연속 함수 에 대해서, 적분 구간이 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

여기서, 이고, 이다.

예제[+/-]

x cos x의 적분[+/-]

다음 식을 적분한다.

이때, 와 같이 가정하면

가 되어,

와 같이 적분을 풀 수 있다. 이때, 는 적분 상수이다.

ex cos x 의 적분[+/-]

이 경우는 부분 적분법을 두 번 사용한다. 먼저 다음과 같이 가정한다.

이때,

이고, 우변의 항에 대해서 다시 한 번 적분한다. 다음과 같이 가정한다.

그러면,

이므로, 함께 적으면,

임을 알 수 있다.

자세히 살펴 보면, 좌변의 적분항이 오른쪽에도 동일하게 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 따라서 우변의 적분 항을 좌변으로 다음과 같이 보내면,

이고, 2로 나눠

와 같은 결과를 얻을 수 있다.

ln x 의 적분[+/-]

또 다른 예제로, 어떤 함수를 1과 그 자신의 곱으로 생각해 부분 적분을 적용하는 경우가 있다. 이 방법은 적분을 구하고자 하는 함수의 미분값과 이 미분값에 를 곱한 함수의 적분값을 알고 있는 경우에 유용하다.

첫 번째 예는, 이다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음과 같이 가정하면,

이고, 이 식에서 C는 적분 상수이다.

arctan x의 적분[+/-]

두 번째 예는 이다. 여기서 함수는 역 탄젠트 함수를 의미한다. 이 식 역시 다음과 같이 나타낼 수 있다.

다음과 같이 가정하면,

임을 확인 할 수 있다.

문제 해결의 전략[+/-]

부분적분은 적분을 하는 데 있어 기계적인 풀이라기 보다는 좀 더 발견적(heuristic)에 가깝다. 그러므로 적분을 하려는 두 함수 중 어떤 것을 에 각각 대입할지를 선택하는 것이 중요하다. 이를 선택할 때 유용한 방법이 LIATE 법칙이다. 아래의 순서에서 먼저 일치하는 함수를 에 대입한다.

L: 로그 함수 (Logarithmic)
I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric)
A: 대수적 함수 (Algebraic)
T: 삼각 함수 (Trigonometric)
E: 지수 함수 (Exponential)

를 대입한 후 남은 함수는 에 대입한다. 이런 순서로 함수를 선택하는 이유는 나중에 나오는 함수일수록 적분값을 구하기가 쉽기 때문이다.