기초 수학/방정식과 함수/이차방정식과 이차함수

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이차함수 의 그래프

이차방정식과 이차함수 단원에서는 이차방정식의 뜻, 이차방정식의 근의 공식, 이차함수의 뜻, 이차함수의 그래프와 성질, 이차함수의 최댓값과 최솟값을 다룬다.[1]

이차방정식[+/-]

이차방정식의 뜻[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
이차 방정식 문서 참고.

최고차항의 차수가 2인 방정식이차방정식(二次方程式, Quadratic equation)이라고 한다. 그 중 미지수 가 포함된 이차방정식을 '에 관한 이차방정식'이라고 한다. 에 관한 이차방정식에서 그 식이 참이 되게 하는 의 값을 '해' 또는 '근'이라고 하며, 이차방정식의 해를 구하는 것을 '이차방정식을 푼다'고 한다.[2]

이차방정식의 풀이[+/-]

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이[+/-]

이차방정식을 푸는 방법은 인수 분해한 다음, 이면 또는 이라는 점을 이용하여 이차방정식의 근을 구한다.[3]

또는
또는

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이[+/-]

아래와 같이 제곱근을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있다.[4]

  • (단, )
  • (단, )
  • (단, )
  • (단, )

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이[+/-]

이차방정식의 두 근의 값이 서로 같을 때의 근을 중근이라고 한다.[5] 이차방정식이 중근을 가지려면 이차방정식이 '(완전제곱식)=0'의 꼴로 인수분해되어야 한다.[5] 즉, 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때, 일차항의 계수에서 2를 나눈값의 제곱이 상수항의 값과 같으면 완전제곱식이 된다.[6]

이차방정식의 근의 공식[+/-]

근의 공식[+/-]

에 관한 이차방정식 ()의 근은 아래와 같다.[7][8]

따라서 에 관한 이차방정식 ()의 근은 이다. 이차방정식의 근의 공식이라고 한다.

짝수 공식[+/-]

에 관한 이차방정식 ()에서 일 때, 이차방정식의 근의 공식에 을 대입하여 정리하면 아래와 같다.[8]

따라서 에 관한 이차방정식 ()에서 일 때, 이다. 에 관한 이차방정식 ()에서 가 짝수일 때 이 공식을 이용하면 계산이 편리하다.

이차방정식의 근의 개수[+/-]

에 관한 이차방정식 ()의 근의 공식 에서 의 부호에 의해 근의 개수가 결정된다. 이때, 판별식이라고 하며, 판별식을 바탕으로 이차방정식의 근의 개수를 정리하면 아래와 같다.[9][10]

이차방정식 ()에서

  • 이면, 서로 다른 두 근을 갖는다. ()
  • 이면, 한 근(중근)을 갖는다. ()[11]
  • 이면, 근이 없다.[11]

이차함수[+/-]

이차함수의 뜻[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
이차 함수 문서 참고.

최고차항의 차수가 2인 함수이차함수(二次函數, Quadratic function)라고 한다. 일반적으로 이차함수는 (는 상수) 혹은 (는 상수)와 같은 형태로 나타낸다.

이차함수의 그래프[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
포물선 문서 참고.

이차함수 의 그래프의 모양과 같이, 평면에서 어떤 점 를 지나지 않는 직선 이 주어졌을때, 에 이르는 거리와 에 이르는 거리가 같은 점들의 자취를 포물선(抛物線, Parabola)이라고 한다.[12] 선대칭도형인 포물선의 대칭을 이루게 하는 직선을 (軸, Axle)이라고 하며 포물선과 축의 교점을 꼭짓점(Vertex)이라고 한다.[13][12]

이차함수 의 그래프[+/-]

이차함수 의 그래프

이차함수 의 그래프는 아래와 같은 성질이 있다.[14][15]

  • 꼭짓점의 좌표가 이다.
  • 축을 축으로 하여 대칭한다.
    축의 방정식이 이다.
  • 이면 아래로 볼록하고 이면 위로 볼록하다.
  • 가 클수록 그래프의 폭은 좁아지며 가 작을수록 그래프의 폭은 넓어진다.
  • 의 그래프와 축을 중심으로 서로 대칭 관계이다.

이차함수 의 그래프[+/-]

이차함수 의 그래프의 성질은 다음과 같다.[16][15]

  • 꼭짓점의 좌표는 이다.
  • 직선 에 대하여 대칭이다.
    축의 방정식이 이다.
  • 이면 아래로 볼록하고 이면 위로 볼록하다.
  • 가 클수록 그래프의 폭은 좁아지고 가 작을수록 그래프의 폭은 넓어진다.
  • 이차함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 이차함수와 같다.

이차함수 의 그래프와 축과의 교점의 좌표는 이차함수에 을 대입하였을 때의 값이 좌표이다( 좌표는 이다.). 마찬가지로 이차함수 의 그래프와 축과의 교점의 좌표는 이차함수에 을 대입하였을 때의 값이 좌표이다( 좌표는 이다.).[17]

이차함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수는 이다.[17]

이차함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.[17]

이차함수 의 그래프를 축에 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 이다.

이차함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭시킨 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 이다.[17]

이차함수 의 그래프[+/-]

이차함수 의 꼴로 고치는 과정은 아래와 같다.[18]

따라서 이차함수 의 그래프에서 꼭짓점의 좌표는 이고 축의 방정식은 이다. 축과의 교점의 좌표는 이다.

이차함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수는 기존의 이차함수를 의 꼴로 변형한 다음 을 전개하여 계산할 수 있다.[18]

이차함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.[18]

이차함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 의 부호가 바뀌므로 아래와 같다.[18]

이차함수 의 그래프와 축과의 교점의 좌표는 이다.[19]

이차함수 의 그래프에서 의 부호에 따라 그래프의 모양은 아래와 같다.[19]

  • 이면 그래프의 모양이 아래로 볼록하고, 이면 그래프의 모양이 위로 볼록하다.
  • 이면 꼭짓점이 축의 왼쪽이 있고, 이면 축의 오른쪽에 있다. 이면 꼭짓점이 축 위에 있다.
  • 이면 축과의 교점이 축의 위쪽에 있고, 이면 축과의 교점이 축의 아래에 있다.

이차함수의 최댓값과 최솟값[+/-]

어떤 함수에서 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값(最大값, Maximum)이라고 하고, 정의역의 각 원소에 대응하는 함숫값 중에서 가장 작은 값을 최솟값(最小값, Minimum)이라고 한다.[20][21]

이차함수 에서 일 때 꼭지점의 함숫값이 최솟값이 되므로 최솟값은 이고, 최댓값은 무한히 큰 수이므로 없다.[22][20] 반면 같은 함수에서 일 때에는 꼭짓점의 함숫값이 최댓값이 되므로 최댓값은 이며, 최솟값은 무한히 작은 수이므로 없다.[23][20]

이차함수 에서 최댓값과 최솟값을 계산하는 것은 이차함수를 꼴로 변환한 뒤 계산한다.[20]

각주[+/-]

  1. (2011) 《교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] 수학과 교육과정》. 대한민국 교육과학기술부, 43쪽
  2. 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 56쪽
  3. 장기경. (2007). “인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  4. 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 60쪽
  5. 5.0 5.1 장지경. (2007). “이차방정식의 중근”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  6. 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 59쪽
  7. 장지경. (2007). “이차방정식의 근의 공식”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  8. 8.0 8.1 육상국 외 3명 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 64쪽
  9. 육상국 외 3명 (2007). 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 65쪽
  10. 장지경. (2007). “이차방정식의 근의 개수”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  11. 11.0 11.1 근의 범위를 실수에 한정지을 경우이다. 만약 근의 범위를 허수를 포함한 복소수 범위로 확장한다면 판별식의 크기와 상관없이 두 근을 갖는다. 근의 범위가 복소수로 확장한 경우는 기초 수학에서는 다루지 않는다.
  12. 12.0 12.1 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 85쪽
  13. 꼭짓점을 '정점'(頂點)으로 부르기도 한다.
  14. 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 87쪽
  15. 15.0 15.1 김종호. (2002). “이차함수의 그래프”. 《Basic 고교생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  16. 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 91쪽
  17. 17.0 17.1 17.2 17.3 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 92쪽
  18. 18.0 18.1 18.2 18.3 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 100쪽
  19. 19.0 19.1 육상국 외 3명. 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 101쪽
  20. 20.0 20.1 20.2 20.3 육상국 외 3명 (2007). 《EBS TV 중학 수학 3-1 (개념편)》. 한국교육방송공사, 104쪽
  21. 장지경. (2007). “이차함수의 최대값과 최소값”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.

참고 문헌[+/-]