기초 수학/피타고라스 정리와 삼각비/피타고라스 정리

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이차방정식과 이차함수 피타고라스 정리 삼각비

피타고라스 정리 단원에서는 피타고라스 정리를 이해하고 평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 다룬다.[1]

피타고라스 정리[+/-]

위키백과 한국어 위키백과에 수록된
피타고라스의 정리 문서 참고.
Pythagoralg.png
피타고라스 정리의 증명

오른쪽 그림과 같은 정사각형에서 한 변의 길이는 이기 때문에 넓이는 이다. 반면, 네 개의 직각삼각형의 넓이의 합은 이고 가운데 정사각형 부분의 넓이는 이므로 이 둘의 합이 정체 정사각형의 넓이라는 점을 이용하여 전체 정사각형 넓이를 계산하면 이다. 이를 이용하여 정리하면 아래와 같다.[2]

위와 같은 직각삼각형에서 이 성립한다. 이를 '피타고라스 정리'라고 한다.

즉, 직각삼각형의 각 변의 길이를 각각 이 있고 를 빗변의 길이라고 할 때 이 성립한다. 이를 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)라고 한다.[2][3]

두 점 사이의 거리[+/-]

좌표평면에서 두 점 이 있을 때, 점 에서 축에 평행하게 그은 직선과 점 에서 축에 평행하게 그은 직선이 만나는 점을 이라고 하고, 두 점 사이의 거리를 이라고 하자. 을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, , 이므로 은 피타고라스 정리에 의해 아래와 같은 관계가 있다.[4]

따라서 좌표평면에서 두 점 가 있을 때 두 점 사이의 거리 은 아래와 같다.[4]

피타고라스 정리의 역[+/-]

삼각형의 세 변의 길이를 각각 라고 할 때 이들의 관계가 이 성립하면 가 빗변인 직각삼각형이다.[5][6]

에서 일 때 아래와 같은 관계가 있다.[5]

  • 일 때
    (예각삼각형)
  • 일 때
    (직각삼각형)
  • 일 때
    (둔각삼각형)

또한 위의 역도 아래와 같이 성립한다.[7]

  • 일 때
    (예각삼각형)
  • 일 때
    (직각삼각형)
  • 일 때
    (둔각삼각형)

평면도형에의 활용[+/-]

가로와 세로의 길이가 각각 인 직각삼각형에서 대각선 의 관계는 을 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 아래와 같은 관계가 있다.[8]

한 변의 길이가 이고 높이가 인 정삼각형 의 넓이를 , 꼭짓점 에서 대변에 내린 수선의 발을 라고 하고 피타고라스 정리를 이용하여 그 관계를 정리하면 아래와 같다.[8]

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두 각의 크기가 인 직각삼각형이 있을 때 세 변 (는 빗변)의 비는 이고, 두 각이 각각 , 이 있을 때 세 변 (는 빗변, )의 비는 이다.[9]

입체도형에의 활용[+/-]

오른쪽 그림과 같은 직육면체가 있을 때 직육면체의 대각선의 길이에 대해 정리하면 아래와 같다.[10]

따라서 가로, 세로, 높이의 길이가 각각 인 정육면체의 대각선의 길이 은 아래와 같다.

밑면의 반지름의 길이가 이고 모선의 길이가 인 원뿔이 있을 때 높이 와 부피 에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.[10]

한 변의 길이가 인 정사각형을 밑면으로하고 옆면의 모서리의 길이가 인 정사각뿔의 높이 와 부피 에 대해 피타고라스 정리를 활용하여 정리하면 아래와 같다.[11]

각주[+/-]

  1. (2011) 《교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] 수학과 교육과정》. 대한민국 교육과학기술부, 44쪽
  2. 2.0 2.1 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 24쪽
  3. 피타고라스 정리를 증명하는 방법은 본문에서 서술된 방법 외에도 매우 많다. [1]에서 피타고라스 정비를 증명하는 다양한 방법을 알 수 있다.
  4. 4.0 4.1 장지경. (2007). “좌표평면에서 두 점 사이의 거리”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  5. 5.0 5.1 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 28쪽
  6. 장지경. (2007). “피타고라스의 정리의 역”. 《Basic 중학생을 위한 수학공식 활용사전》. 신원문화사.
  7. 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 29쪽
  8. 8.0 8.1 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 36쪽
  9. 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 37쪽
  10. 10.0 10.1 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 41쪽
  11. 육상국, 윤기원, 이경은, 정석규 (2011). 《EBS TV 중학 수학 3-2 (개념편)》. 한국교육방송공사, 42쪽

참고 문헌[+/-]