기초 수학/수와 식의 계산/다항식의 계산

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다항식의 계산

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다항식의 계산 단원에서는 지수법칙, 다항식의 곱셈 원리와 인수분해, 다항식의 계산을 다룬다.

지수법칙의 이해

지수법칙

$a>0,b>0$이고, $m,n$이 유리수일 때, 아래와 같은 성질이 있다.

• ${a^{0}}=1$
• ${a^{m}}\times {a^{n}}={a^{m+n}}$
• ${a^{m}}\div {a^{n}}={a^{m-n}}$
• ${(a^{m})^{n}}={a^{mn}}={(a^{n})^{m}}$
• ${(ab)^{m}}={a^{m}}{b^{m}}$
• ${(a\div b)^{m}}={a^{m}\div b^{m}}$
• $a^{-m}={1\div a^{m}}$

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 괄호를 풀고 동류항끼리 계산을 한다. 괄호가 있는 식에서는 괄호 안부터 계산한다.

단항식과 다항식의 곱셈

단항식과 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 식을 전개한 후 계산한다.

• $a(b+c-d)=ab+ac-ad$
• $(a+b-c)d=ad+bd-cd$

다항식과 단항식의 나눗셈

다항식과 단항식의 나눗셈은 분수 꼴로 고친 후 계산하거나 분배법칙을 이용하여 전개한 후 계산한다.

• $(a+b-c)\div d={{a+b-c} \over d}={a \over d}+{b \over d}-{c \over d}$
• $(a+b-c)\div d=(a+b-c)\times {1 \over d}=a\times {1 \over d}+b\times {1 \over d}-c\times {1 \over d}={{a \over d}+{b \over d}-{c \over d}}$

다항식의 연산

곱셈공식

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곱셈공식(곱셈公式, Multiplication theorem)은 다항식의 곱셈에서 식을 전개에 대해 정리한 공식이다.

• $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
• $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
• $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
• $(x+a)(x-b)=x^{2}+(a-b)-ab$
• $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$

곱셈공식의 활용

제곱의 계산

제곱의 계산은 아래와 같이 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$을 이용하여 계산한다.

• $105^{2}=(100+5)^{2}=100^{2}+2\times 100\times 5+5^{2}=10000+1000+25=11025$
• $95^{2}=(100-5)^{2}=100^{2}-2\times 100\times 5+5^{2}=10000-1000+25=9025$

두 수의 곱의 계산

두 수의 곱의 계산은 아래와 같이 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$을 이용하여 계산한다.

• $102\times 98=(100+2)(100-2)=100^{2}-2^{2}=10000-4=9996$

곱셈공식의 변형

곱셈공식은 아래와 같이 변형할 수 있다.

• $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
• $a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab$
• $(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$
• $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$
• $a^{2}+{1 \over a^{2}}=(a+{1 \over a})^{2}-2$
• $a^{2}+{1 \over a^{2}}=(a-{1 \over a})^{2}+2$

인수분해

위키백과에 이 문서와 관련된 정보가 있습니다. 인수 분해

다항식에서 인수분해(因數分解, Factorization)는 어떤 다항식을 단항식이나 다항식의 곱으로 표현하는 것을 말한다.

인수분해 공식

인수분해에 관한 공식은 다음과 같이 있다.

• $ma+mb=m(a+b)$
• $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$
• $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
• $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
• $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
• $acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

인수분해의 활용

연산할 때 아래와 같이 인수분해를 활용하면 편리하다.

• $98^{2}-2^{2}=(98+2)(98-2)=100\times 96=9600$

참고 문헌

• (2011) 《교육과학기술부 고시 제 2011-361호 [별책 8] 수학과 교육과정》. 대한민국 교육과학기술부